Exercice 6

On applique la caractérisation : $1_{A} \in B$, puis stabilité par différence et par produit.

1. L'entier $1$ n'est pas pair. $$\boxed{2\mathbb{Z} \text{ n'est pas un sous-anneau de } \mathbb{Z} \text{ : il ne contient pas } 1.}$$

2. On a $1 \in \mathbb{Z}$, et la différence comme le produit de deux entiers sont des entiers. $$\boxed{\mathbb{Z} \text{ est un sous-anneau de } \mathbb{Q}.}$$

3. Même argument avec les rationnels. $$\boxed{\mathbb{Q} \text{ est un sous-anneau de } \mathbb{R}.}$$

4. On a $1=1+0\sqrt{3}$. Soient $x=a+b\sqrt{3}$ et $y=c+d\sqrt{3}$ avec $a,b,c,d$ entiers : $$x-y=(a-c)+(b-d)\sqrt{3} \qquad\text{et}\qquad xy=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt{3}$$ les coefficients obtenus étant entiers. $$\boxed{B \text{ est un sous-anneau de } \mathbb{R}.}$$

5. La fonction constante égale à $1$ est continue, et la différence comme le produit de deux fonctions continues le sont. $$\boxed{B \text{ est un sous-anneau de } \mathbb{R}^{\mathbb{R}}.}$$

6. La fonction constante égale à $1$ ne s'annule pas en $0$. $$\boxed{B \text{ n'est pas un sous-anneau : il ne contient pas } 1_{\mathbb{R}^{\mathbb{R}}}.}$$ Piège : cette partie est pourtant stable par différence et par produit. C'est bien la condition $1_{A} \in B$ qui fait défaut, et elle n'est pas une formalité.

7. La fonction constante égale à $1$ vérifie $f(1)=f(2)$. Et si $f(1)=f(2)$ et $g(1)=g(2)$, alors : $$(f-g)(1)=f(1)-g(1)=f(2)-g(2)=(f-g)(2) \qquad (fg)(1)=f(1)g(1)=f(2)g(2)=(fg)(2)$$