Exercice 5

1. Soient $n$ et $m$ tels que $x^{n}=0_{A}$ et $y^{m}=0_{A}$, et posons $p=\max(n\,;m)$. L'anneau étant commutatif : $$(xy)^{p}=x^{p}y^{p}$$ et l'un des deux facteurs est nul, puisque $p \geqslant n$ ou $p \geqslant m$ — en réalité les deux. $$\boxed{xy \text{ est nilpotent.}}$$

2. L'anneau étant commutatif, la formule du binôme s'applique : $$(x+y)^{n+m-1}=\sum_{k=0}^{n+m-1} \binom{n+m-1}{k} \, x^{k}y^{\,n+m-1-k}$$ Examinons un terme d'indice $k$. Si $k \geqslant n$, alors $x^{k}=0_{A}$. Sinon $k \leqslant n-1$, et l'exposant de $y$ vaut $n+m-1-k \geqslant m$, donc $y^{\,n+m-1-k}=0_{A}$. Tous les termes sont nuls. $$\boxed{x+y \text{ est nilpotent.}}$$

3. On reconnaît une somme géométrique. Avec $x^{n}=0_{A}$ : $$(1_{A}-x)\big(1_{A}+x+x^{2}+\dots+x^{n-1}\big)=1_{A}-x^{n}=1_{A}$$ les termes intermédiaires se télescopant. L'anneau étant commutatif, le produit dans l'autre ordre donne le même résultat. $$\boxed{1_{A}-x \text{ est inversible, d'inverse } 1_{A}+x+\dots+x^{n-1}.}$$

4. Soit $n$ tel que $(uv)^{n}=0_{A}$. On écrit alors : $$(vu)^{n+1}=\underbrace{vu \cdot vu \cdots vu}_{n+1 \text{ facteurs}}=v\,\underbrace{(uv)(uv)\cdots(uv)}_{n \text{ facteurs}}\,u=v\,(uv)^{n}\,u=v \times 0_{A} \times u=0_{A}$$

$$\boxed{vu \text{ est nilpotent.}}$$ Remarque : ce regroupement ne demande que l'associativité, et non la commutativité. C'est pourquoi la question reste valable dans un anneau quelconque, contrairement aux trois précédentes.