Exercice 4

1. En appliquant l'hypothèse à l'élément $x+x$, puis en développant comme à l'exercice 2 : $$x+x=(x+x)^{2}=x^{2}+x^{2}+x^{2}+x^{2}=x+x+x+x$$ En simplifiant $x+x$ dans le groupe $(A\,;+)$, il vient : $$\boxed{x+x=0_{A}, \text{ c'est-à-dire } -x=x, \text{ pour tout } x \in A.}$$

2. On applique l'hypothèse à $x+y$ : $$x+y=(x+y)^{2}=x^{2}+xy+yx+y^{2}=x+xy+yx+y$$ En simplifiant $x+y$ des deux côtés : $$\boxed{xy+yx=0_{A}}$$

3. La question 2 donne $xy=-(yx)$, et la question 1 appliquée à l'élément $yx$ donne $-(yx)=yx$. $$\boxed{xy=yx \text{ : l'anneau } A \text{ est commutatif.}}$$

4. Dans $\mathcal{P}(E)$ muni de $\Delta$ et $\cap$, le carré d'un élément $A$ est $A \cap A = A$. $$\boxed{\big(\mathcal{P}(E) \,;\Delta\,;\cap\big) \text{ est un anneau de Boole.}}$$ On y vérifie d'ailleurs les deux résultats intermédiaires : $A \,\Delta\, A = \varnothing$ est bien le neutre additif, conformément à la question 1.