ExerciceMaths approfondies, chapitre 5 — Structures algébriques · Anneaux : définition et calculs

Exercice 3

Démonstration

On rappelle qu'un élément $x$ non nul d'un anneau $A$ est un diviseur de zéro lorsqu'il existe $y$ non nul dans $A$ tel que $xy=0_{A}$ .

1. Exhiber deux diviseurs de zéro dans $\big(\mathbb{R}^{2} \,;+\,;\times\big)$ .

2. Vérifier que les fonctions $f : x \mapsto |x|+x$ et $g : x \mapsto |x|-x$ sont des diviseurs de zéro de $\big(\mathbb{R}^{\mathbb{R}} \,;+\,;\times\big)$ .

3. Exhiber deux diviseurs de zéro dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ .

4. Démontrer qu'un élément inversible d'un anneau n'est jamais un diviseur de zéro.

5. En déduire qu'un corps ne possède aucun diviseur de zéro.

Corrigé

1. Les deux éléments $(1\,;0)$ et $(0\,;1)$ sont non nuls, et : $(1\,;0) \times (0\,;1) = (1 \times 0 \,;\, 0 \times 1) = (0\,;0)$

\boxed{(1\,;0) \text{ et } (0\,;1) \text{ sont des diviseurs de zéro de } \mathbb{R}^{2}.}

2. Les fonctions $f$ et $g$ ne sont pas nulles, puisque $f(1)=2$ et $g(-1)=2$ . Pourtant, pour tout réel $x$ : $f(x)g(x)=\big(|x|+x\big)\big(|x|-x\big)=|x|^{2}-x^{2}=x^{2}-x^{2}=0$

\boxed{f \text{ et } g \text{ sont des diviseurs de zéro de } \mathbb{R}^{\mathbb{R}}.}

3. Dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ , les classes $\overline{2}$ et $\overline{3}$ sont non nulles et $\overline{2} \times \overline{3} = \overline{6} = \overline{0}$ . $\boxed{\overline{2} \text{ et } \overline{3} \text{ sont des diviseurs de zéro de } \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}.}$

4. Soit $x$ inversible, et supposons $xy=0_{A}$ . En multipliant à gauche par $x^{-1}$ : $y = 1_{A} \times y = \big(x^{-1}x\big)y = x^{-1}\big(xy\big) = x^{-1} \times 0_{A} = 0_{A}$

\boxed{\text{Un élément inversible n'est jamais un diviseur de zéro.}}

5. Dans un corps, tout élément non nul est inversible, donc n'est pas un diviseur de zéro d'après la question 4. $\boxed{\text{Un corps ne possède aucun diviseur de zéro.}}$

Énoncé PDF, p. 1 Corrigé PDF, p. 2 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Anneaux Corps

Thèmes

anneaux, diviseurs de zéro et nilpotents, éléments inversibles, corps

Notions

anneau, anneau intègre, inversible, corps