Exercice 9

1. On a $B \cap C \subset A$. De plus $1_{A}$ appartient à $B$ et à $C$, donc à $B \cap C$. Soient enfin $x$ et $y$ dans $B \cap C$. Comme $B$ est un sous-anneau, $x-y$ et $xy$ appartiennent à $B$ ; comme $C$ en est un, ils appartiennent aussi à $C$. $$\boxed{B \cap C \text{ est un sous-anneau de } A.}$$

2. Le couple $(1\,;1)$ appartient à $\mathbb{Q} \times \mathbb{Z}$ comme à $\mathbb{Z} \times \mathbb{Q}$. Les deux parties sont stables par différence et par produit, ceux-ci se calculant coordonnée par coordonnée : ce sont bien deux sous-anneaux de $\mathbb{Q}^{2}$.

Considérons alors $\left(\dfrac{1}{2}\,;1\right) \in B$ et $\left(1\,;\dfrac{1}{2}\right) \in C$. Leur somme vaut : $$\left(\frac{3}{2} \,;\, \frac{3}{2}\right)$$ dont aucune des deux coordonnées n'est entière : elle n'appartient ni à $B$, ni à $C$. $$\boxed{B \cup C \text{ n'est pas stable par addition, donc n'est pas un sous-anneau de } \mathbb{Q}^{2}.}$$

3. Soit $(B_{i})_{i \in I}$ une famille de sous-anneaux de $A$, et $B=\bigcap_{i \in I} B_{i}$. Chaque $B_{i}$ contient $1_{A}$, donc $B$ aussi. Et si $x$ et $y$ appartiennent à $B$, alors pour tout $i$ les éléments $x-y$ et $xy$ appartiennent à $B_{i}$, donc à $B$. $$\boxed{\text{Oui : une intersection quelconque de sous-anneaux est un sous-anneau.}}$$ On retrouve l'asymétrie déjà rencontrée aux chapitres 3 et 4 : l'intersection se comporte bien, la réunion non.