Exercice 10

1. On calcule sur les représentants, puis on réduit modulo $7$. $$\boxed{\overline{5}+\overline{4}=\overline{9}=\overline{2} \qquad \overline{3} \times \overline{5}=\overline{15}=\overline{1} \qquad \overline{6}^{\,2}=\overline{36}=\overline{1} \qquad \overline{2}^{\,5}=\overline{32}=\overline{4}}$$ puisque $9=7+2$, $15=2 \times 7+1$, $36=5 \times 7+1$ et $32=4 \times 7+4$.

2. On procède de même modulo $12$. $$\boxed{\overline{7}+\overline{8}=\overline{15}=\overline{3} \qquad \overline{5} \times \overline{9}=\overline{45}=\overline{9} \qquad \overline{4} \times \overline{3}=\overline{12}=\overline{0} \qquad -\overline{1}=\overline{11}}$$ Le troisième calcul fournit au passage deux diviseurs de zéro de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$.

3. On calcule les puissances successives de $\overline{3}$ dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ : $$\overline{3}^{\,1}=\overline{3} \quad \overline{3}^{\,2}=\overline{2} \quad \overline{3}^{\,3}=\overline{6} \quad \overline{3}^{\,4}=\overline{4} \quad \overline{3}^{\,5}=\overline{5} \quad \overline{3}^{\,6}=\overline{1}$$ La suite est donc périodique de période $6$. Or $100=6 \times 16+4$, d'où : $$\overline{3}^{\,100}=\big(\overline{3}^{\,6}\big)^{16} \times \overline{3}^{\,4}=\overline{1}^{16} \times \overline{4}=\overline{4}$$