ExerciceMaths approfondies, chapitre 5 — Structures algébriques · L'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Exercice 11

Calcul

1. Dresser la table de multiplication de $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ .

2. En déduire la liste des éléments inversibles de $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ , ainsi que l'inverse de chacun. Que remarque-t-on ?

3. En déduire la liste des diviseurs de zéro de $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ .

4. L'anneau $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ est-il un corps ? Le théorème 1 permettait-il de le prévoir ?

Corrigé

1. On calcule chaque produit $ij$ puis son reste modulo $8$ .

\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \times & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{5} & \overline{6} & \overline{7} \\ \hline \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} & \overline{0} \\ \hline \overline{1} & \overline{0} & \overline{1} & \overline{2} & \overline{3} & \overline{4} & \overline{5} & \overline{6} & \overline{7} \\ \hline \overline{2} & \overline{0} & \overline{2} & \overline{4} & \overline{6} & \overline{0} & \overline{2} & \overline{4} & \overline{6} \\ \hline \overline{3} & \overline{0} & \overline{3} & \overline{6} & \overline{1} & \overline{4} & \overline{7} & \overline{2} & \overline{5} \\ \hline \overline{4} & \overline{0} & \overline{4} & \overline{0} & \overline{4} & \overline{0} & \overline{4} & \overline{0} & \overline{4} \\ \hline \overline{5} & \overline{0} & \overline{5} & \overline{2} & \overline{7} & \overline{4} & \overline{1} & \overline{6} & \overline{3} \\ \hline \overline{6} & \overline{0} & \overline{6} & \overline{4} & \overline{2} & \overline{0} & \overline{6} & \overline{4} & \overline{2} \\ \hline \overline{7} & \overline{0} & \overline{7} & \overline{6} & \overline{5} & \overline{4} & \overline{3} & \overline{2} & \overline{1} \\ \hline \end{array}

2. Les lignes contenant le neutre $\overline{1}$ , signalé en ocre, sont celles de $\overline{1}$ , $\overline{3}$ , $\overline{5}$ et $\overline{7}$ . Dans chacune, le $\overline{1}$ se trouve sur la diagonale. $\boxed{\text{Les inversibles sont } \overline{1}, \, \overline{3}, \, \overline{5}, \, \overline{7}, \text{ et chacun est son propre inverse.}}$ Ce sont exactement les classes des entiers impairs, c'est-à-dire des entiers premiers avec $8$ .

3. Les zéros situés hors de la première ligne et de la première colonne, en bleu pétrole, signalent les diviseurs de zéro. $\boxed{\text{Les diviseurs de zéro sont } \overline{2}, \, \overline{4} \text{ et } \overline{6}.}$

4. Les classes $\overline{2}$ , $\overline{4}$ et $\overline{6}$ sont non nulles et non inversibles. $\boxed{\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \text{ n'est pas un corps, ce que le théorème 1 prévoyait puisque } 8=2^{3} \text{ n'est pas premier.}}$ On observe de plus que chaque classe non nulle est soit inversible, soit diviseur de zéro : c'est le résultat général de l'exercice 16.

Énoncé PDF, p. 3 Corrigé PDF, p. 6 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Anneaux Corps

Thèmes

anneaux, diviseurs de zéro et nilpotents, éléments inversibles, corps

Notions

anneau, anneau intègre, inversible, corps