ExerciceMaster — Théorie de Galois · Chapitre 1 - Groupes

Exercice 1

DémonstrationCalcul

1. Les ensembles suivants, munis de la loi indiquée, sont-ils des groupes ? Justifier.

(a) $(\mathbb{N} \,;+)$

(b) $(\mathbb{Z} \,;\times)$

(c) $\big(\mathbb{Q}^{*} \,;\times\big)$

(d) l'ensemble des racines $n$ -ièmes de l'unité, pour $\times$

(e) $\big(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \,;+\big)$

(f) $\big(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \setminus \{0\} \,;\times\big)$

2. Déterminer l'ordre de chacun des éléments de $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ .

3. Déterminer l'ordre des permutations suivantes de $\mathfrak{S}_{5}$ : $(1\ 2\ 3) \qquad (1\ 2)(3\ 4) \qquad (1\ 2\ 3\ 4\ 5) \qquad (1\ 2\ 3)(4\ 5)$

Corrigé

1. (a) Non : aucun élément non nul n'a de symétrique. (b) Non : $2$ n'est pas inversible. (c) Oui. (d) Oui : $\mu_{n}$ est stable par produit et par inverse. (e) Oui. (f) Non : $2 \times 3=0$ , donc la loi n'est même pas interne, et $2$ n'est pas inversible. $\boxed{\text{Seuls } \mathbb{Q}^{*}, \; \mu_{n} \text{ et } \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \text{ sont des groupes.}}$

2. L'ordre de $\overline{k}$ dans $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ vaut $\dfrac{12}{\mathrm{pgcd}(k\,;12)}$ :

\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 \\ \hline \text{ordre} & 1 & 12 & 6 & 4 & 3 & 12 & 2 & 12 & 3 & 4 & 6 & 12 \\ \hline \end{array}

Les générateurs sont les $\overline{k}$ avec $\mathrm{pgcd}(k\,;12)=1$ , au nombre de $\varphi(12)=4$ .

3. L'ordre d'un cycle est sa longueur, et deux cycles à supports disjoints commutent, donc l'ordre d'un produit de tels cycles est le PPCM de leurs longueurs : $\boxed{3 \qquad 2 \qquad 5 \qquad \mathrm{ppcm}(3\,;2)=6}$

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