Exercice 2

D'après le théorème de Lagrange, un sous-groupe de $G=\big(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\big)^{2}$ est d'ordre $1$, $p$ ou $p^{2}$. Les ordres extrêmes ne donnent que $\{0\}$ et $G$. Un sous-groupe d'ordre $p$ est cyclique, engendré par n'importe lequel de ses $p-1$ éléments non nuls, puisque tout élément non nul de $G$ est d'ordre $p$. Deux sous-groupes d'ordre $p$ distincts ont une intersection d'ordre divisant $p$ et strictement inférieur à $p$, donc triviale. Les sous-groupes d'ordre $p$ réalisent donc une partition des $p^{2}-1$ éléments non nuls en paquets de $p-1$ éléments : $$\frac{p^{2}-1}{p-1}=p+1 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{G \text{ possède } p+3 \text{ sous-groupes.}}$$ Le même raisonnement, appliqué aux $p^{n}-1$ éléments non nuls de $\big(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\big)^{n}$, donne : $$\boxed{\frac{p^{n}-1}{p-1}=1+p+\dots+p^{n-1} \text{ sous-groupes d'ordre } p}$$ Pour $p=2$, on retrouve les trois sous-groupes d'ordre $2$ du groupe de Klein, et les cinq sous-groupes au total.

Remarque. Le groupe $\big(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\big)^{n}$ est un $\mathbb{F}_{p}$-espace vectoriel dont les sous-groupes sont les sous-espaces : on vient de compter les droites de $\mathbb{F}_{p}^{n}$.