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Théorie de Galois

55 exercices corrigés · 8   18   24   5

Chapitre 1 - Groupes

• Exercice 1 1. Les ensembles suivants, munis de la loi indiquée, sont-ils des groupes ? Justifier. (a) (ℕ;+) (b) (ℤ;×) (c) (ℚ^();×) (d) l'ensemble des racines n…
• Exercice 2 Soit p un nombre premier. Déterminer le nombre de sous-groupes du groupe (ℤ/pℤ)^2. Plus généralement, combien le groupe (ℤ/pℤ)^n possède-t-il de…
• Exercice 3 On travaille dans mathfrak S_n. 1. Décomposer en produit de cycles à supports disjoints la permutation de mathfrak S_9: σ=begin pmatrix 1 & 2 & 3 &…
• Exercice 4 1. Démontrer qu'un groupe d'ordre 4 est isomorphe à ℤ/4ℤ ou à (ℤ/2ℤ)^2. 2. Soit G un groupe dans lequel x^2=e pour tout x. Démontrer que G est…
• Exercice 5 On note D_4 le groupe des isométries du carré, engendré par la rotation r d'angle π/2 et une symétrie axiale s. 1. Démontrer que r^4=s^2= id et…
• Exercice 6 1. Soit n ≥ 1. Démontrer que Aut (ℤ/nℤ) est isomorphe au groupe multiplicatif (ℤ/nℤ)^(), et que son ordre vaut φ(n). 2. Expliciter Aut (ℤ/8ℤ) et Aut…

Chapitre 2 - Quotients, actions et résolubilité

• Exercice 7 Le théorème de Lagrange affirme que l'ordre d'un sous-groupe divise celui du groupe. Cet exercice montre que la réciproque est fausse. 1. Vérifier…
• Exercice 8 Le groupe des quaternions Q_8=± 1;± i;± j;± k est défini par les relations i^2= j^2= k^2=-1 i j= k, j k= i, k i= j l'élément -1 étant central et…
• Exercice 9 Soit p un nombre premier. Le groupe de Heisenberg H(F_p) est l'ensemble des matrices M(a;b;c)=begin pmatrix 1 & a & c 0 & 1 & b 0 & 0 & 1 end…
• Exercice 10 1. Décrire les éléments du quotient ℤ/12ℤ modulo le sous-groupe langle 4 rangle, et identifier ce quotient. 2. Identifier mathfrak S_3/mathfrak A_3,…
• Exercice 11 1. Dresser la liste des classes de conjugaison de mathfrak S_4, avec leurs cardinaux. Vérifier que la somme vaut 24. 2. Faire de même pour mathfrak…
• Exercice 12 1. Énoncer le théorème de Cauchy, puis l'appliquer pour montrer qu'un groupe d'ordre 15 contient un élément d'ordre 3 et un élément d'ordre 5. 2.…
• Exercice 13 Démontrer qu'un groupe fini qui possède au plus un sous-groupe de chaque ordre est cyclique. On pourra commencer par le cas où l'ordre du groupe est…
• Exercice 14 Soit G un groupe d'ordre 60 possédant plus d'un 5 -Sylow. Démontrer que G est simple.
• Exercice 15 Soit p un nombre premier. Le groupe affine de F_p est Aff(F_p)= φ_a,b: x ↦ ax+b | a ∈ F_p^(), b ∈ F_p muni de la composition. 1. Démontrer que c'est…
• Exercice 16 On pose G= SL_2(F_3), groupe des matrices de M_2(F_3) de déterminant 1. 1. Démontrer que |G|=24. On comptera d'abord les couples (u;v) de vecteurs…
• Exercice 17 Soit F un corps fini et n ≥ 1. Démontrer que le groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles de taille n à coefficients dans F est…

Chapitre 3 - Anneaux, corps et polynômes

• Exercice 18 1. Effectuer la division euclidienne de X^4+X^3+2X+1 par X^2+1 dans ℚ[X]. 2. Déterminer le PGCD de X^4-1 et X^6-1 dans ℚ[X], puis une relation de…
• Exercice 19 1. Les polynômes suivants sont-ils irréductibles sur ℚ ? Justifier par le critère le plus économique. (a) X^2-2 (b) X^3-3X-1 (c) X^4+1 (d) X^5-4X+2…
• Exercice 20 Soit α la classe de X dans ℚ[X]/ (X^3-X^2+X+2). Justifier que ce quotient est un corps, puis exprimer (α^2+α+1) (α^2-α) et (α-1)^(-1) sous la forme…
• Exercice 21 1. Construire explicitement F_4 comme F_2[X]/ (X^2+X+1): dresser les tables d'addition et de multiplication. 2. Vérifier que le groupe multiplicatif…
• Exercice 22 1. Dresser la liste des polynômes unitaires de degré 2 de F_2[X], et déterminer lesquels sont irréductibles. 2. Faire de même en degré 3. Combien en…

Chapitre 4 - Extensions de corps

• Exercice 23 1. Déterminer le polynôme minimal sur ℚ de chacun des nombres ci-dessous, en justifiant à chaque fois l'irréductibilité. (a) √[3]5 (b) i√3 (c) zeta…
• Exercice 24 Soit F un corps de caractéristique différente de 2. Pour toute extension E de F de degré 2, on note S(E) l'ensemble des a ∈ F^() qui sont des carrés…
• Exercice 25 Soit K un corps et f ∈ K[X] un polynôme de degré p premier. On suppose que, pour toute extension L de K, dès que f possède une racine dans L, il est…
• Exercice 26 Déterminer le corps de décomposition L de X^5-2 sur ℚ, ainsi que son degré [L:ℚ].
• Exercice 27 Démontrer que ni l'heptagone régulier ni l'ennéagone régulier ne sont constructibles à la règle et au compas. Pourquoi la quadrature du cercle…

Chapitre 5 - Séparabilité, normalité, corps finis

• Exercice 28 1. Démontrer que toute extension de degré 2 est normale. 2. Donner un exemple de tour K subseteq M subseteq L où L/M et M/K sont normales sans que…
• Exercice 29 1. Déterminer tous les sous-corps de F_64, et tracer le treillis correspondant. 2. Même question pour F_3^12.
• Exercice 30 1. Déterminer tous les générateurs de F_7^(), puis de F_11^(). 2. Combien F_q^() possède-t-il de générateurs ? Exprimer la réponse à l'aide de…
• Exercice 31 Soit p un nombre premier impair. Démontrer que -1 est un carré dans F_p si et seulement si p equiv 1 [4], puis que 2 est un carré dans F_p si et…
• Exercice 32 Soit p un nombre premier et n ≥ 1 un entier premier à p. Démontrer que le corps de décomposition de X^n-1 sur F_p est F_p^d, où d est l'ordre de…
• Exercice 33 1. Déterminer un élément primitif de ℚ (√[3]2; j) sur ℚ, où j= e^(2 iπ/3). 2. Démontrer que l'extension F_p(T;S)/F_p (T^p;S^p) est finie mais…

Chapitre 6 - La correspondance de Galois

• Exercice 34 Déterminer le polynôme minimal de √2+√3+√5 sur ℚ.
• Exercice 35 Déterminer le groupe de Galois du polynôme X^4+X^3+1 sur chacun des corps F_2, F_3 et F_4.
• Exercice 36 Démontrer que le groupe de Galois de X^6+3 sur ℚ est isomorphe à mathfrak S_3. Démontrer ensuite que ce polynôme, irréductible sur ℚ, est réductible…
• Exercice 37 Déterminer le groupe de Galois de X^5-2 sur ℚ, dont l'exercice 26 a calculé le corps de décomposition. On le comparera au groupe affine Aff(F_5) de…
• Exercice 38 Soit K un corps de caractéristique p>0, a ∈ K et f=X^p-X-a. On suppose que f n'a aucune racine dans K. Démontrer que f est irréductible sur K, que…
• Exercice 39 Soit n ≥ 1, et t, u deux indéterminées. Démontrer que l'extension ℂ(t;u)/ℂ (t^n;u^n) est galoisienne, et déterminer son groupe de Galois.
• Exercice 40 Soient a,b ∈ ℚ tels que b>0 ne soit pas le carré d'un rationnel et que a+√b>0. On dit que α=√(a+√b) se désimbrique s'il appartient à un corps de la…
• Exercice 41 Soit K un corps, L=K (X_1;X_2;X_3;X_4) le corps des fractions rationnelles en quatre indéterminées, et M=K (s_1;s_2;s_3;s_4) le sous-corps engendré…
• Exercice 42 On pose α=√((2+√2) (3+√3)) et E=ℚ(α). Démontrer que E/ℚ est une extension galoisienne de degré 8, dont le groupe de Galois est isomorphe au groupe…

Chapitre 7 - Résolubilité par radicaux

• Exercice 43 1. Calculer Phi _n pour n allant de 1 à 12, en utilisant la relation X^n-1=Π_(d mid n) Phi _d. 2. Vérifier que deg Phi _n=φ(n) dans chacun de ces…
• Exercice 44 1. Démontrer que ℚ (zeta _15)/ℚ est galoisienne, et déterminer son degré. 2. Démontrer que Gal (ℚ(zeta _15)/ℚ) simeq (ℤ/15ℤ)^(), puis identifier la…
• Exercice 45 On étudie l'extension ℚ(zeta _16)/ℚ, où zeta _16= e^(2 iπ/16). 1. Justifier que Phi _16=X^8+1, puis que [ℚ(zeta _16):ℚ ]=8. 2. Déterminer la…
• Exercice 46 1. Déterminer Gal (ℚ(zeta _7)/ℚ) et vérifier qu'il est cyclique d'ordre 6. 2. En déduire le nombre de corps intermédiaires entre ℚ et ℚ(zeta _7), et…
• Exercice 47 Démontrer que ℚ (√(2+√(2+√2))) est une extension galoisienne de ℚ, et déterminer son groupe de Galois.
• Exercice 48 Soit K un corps, p un nombre premier distinct de la caractéristique de K, et zeta une racine primitive p -ième de l'unité dans une extension de K.…
• Exercice 49 On pose P=X^3-3X+1. 1. Démontrer que P est irréductible sur ℚ, et qu'il possède trois racines réelles. 2. Calculer le discriminant Δ=-4p^3-27q^2 de…
• Exercice 50 On pose P=X^4+8X+12. Cet exercice détermine son groupe de Galois G. 1. Démontrer que P n'a pas de racine rationnelle, puis qu'il est irréductible…
• Exercice 51 Démontrer que le groupe de Galois de X^5+20X^2-2 sur ℚ est mathfrak S_5. Soit ensuite K une extension finie de ℚ de degré premier q ≥ 7: démontrer…
• Exercice 52 On pose P=X^5-5X+12. Contrairement à X^5-4X+2, ce polynôme est résoluble par radicaux. 1. Démontrer que P est irréductible sur ℚ. On pourra réduire…
• Exercice 53 1. Déterminer tous les entiers n compris entre 3 et 30 pour lesquels le polygone régulier à n côtés est constructible. 2. Justifier chacune des…
• Exercice 54 Pour quels entiers n ≥ 1 peut-on trisecter à la règle et au compas un angle de mesure 2π/n ?
• Exercice 55 Démontrer que, pour tout entier n ≥ 2, le polynôme X^n+X+3 est irréductible sur ℚ. Déterminer son groupe de Galois pour n ≤ 4, en admettant les…