Exercice 31

Le cas de $-1$. Le nombre $-1$ est un carré dans $\mathbb{F}_{p}$ si et seulement si $\mathbb{F}_{p}^{*}$ contient un élément d'ordre $4$. Ce groupe étant cyclique d'ordre $p-1$ (théorème 5.4), cela équivaut à $4 \mid p-1$. $$\boxed{-1 \text{ est un carré dans } \mathbb{F}_{p} \iff p \equiv 1 \;[4]}$$

Le cas de $2$. Comme $p$ est impair, $8$ divise $p^{2}-1$, et le groupe cyclique $\mathbb{F}_{p^{2}}^{*}$ contient un élément $x$ d'ordre $8$ ; on a $x^{4}=-1$, seul élément d'ordre $2$ d'un corps. Posons $y=x+x^{-1}$. Alors : $$y^{2}=x^{2}+2+x^{-2}=2+x^{-2}\big(x^{4}+1\big)=2$$ Les racines carrées de $2$ dans $\mathbb{F}_{p^{2}}$ sont donc $\pm y$, et $2$ est un carré dans $\mathbb{F}_{p}$ si et seulement si $y \in \mathbb{F}_{p}$, c'est-à-dire $y^{p}=y$. Le Frobenius étant un morphisme, $y^{p}=x^{p}+x^{-p}$, qui ne dépend que de $p$ modulo $8$.

Si $p \equiv \pm 1 \;[8]$, alors $x^{p}=x^{\pm 1}$ et $y^{p}=y$. Si $p \equiv \pm 3 \;[8]$, alors $y^{p}=x^{3}+x^{-3}=x^{3}+x^{5}$ ; comme $x^{4}=-1$, on a $x^{5}=-x$ et $x^{3}=-x^{-1}$, d'où $y^{p}=-y \neq y$, puisque $y \neq 0$. $$\boxed{2 \text{ est un carré dans } \mathbb{F}_{p} \iff p \equiv \pm 1 \;[8]}$$ On retrouve ainsi, par la seule théorie des corps finis, les deux « lois complémentaires » de la réciprocité quadratique.