Exercice 32

Comme $p$ ne divise pas $n$, le polynôme $X^{n}-1$ est premier avec sa dérivée $nX^{n-1}$ : il est séparable, et ses racines forment dans son corps de décomposition $L$ un sous-groupe $\mu_{n}$ de $L^{*}$ d'ordre $n$, cyclique d'après le théorème 5.4. Le corps $L$ est fini, égal à $\mathbb{F}_{p}(\mu_{n})$.

Un corps $\mathbb{F}_{p^{k}}$ contient $n$ racines $n$-ièmes de l'unité si et seulement si son groupe multiplicatif, cyclique d'ordre $p^{k}-1$, possède un sous-groupe d'ordre $n$, c'est-à-dire si $n \mid p^{k}-1$, soit $p^{k} \equiv 1 \;[n]$. Cela équivaut à dire que l'ordre $d$ de $\overline{p}$ dans $\big(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\big)^{*}$ divise $k$. Le plus petit corps convenable est donc $\mathbb{F}_{p^{d}}$. $$\boxed{\text{Le corps de décomposition de } X^{n}-1 \text{ sur } \mathbb{F}_{p} \text{ est } \mathbb{F}_{p^{d}}, \ d=\text{ordre de } \overline{p} \text{ dans } \big(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\big)^{*}.}$$ Pour $p=3$ et $n=7$, les puissances de $3$ modulo $7$ sont $3$, $2$, $6$, $4$, $5$, $1$ : l'ordre vaut $6$. Une racine primitive septième $\zeta$ engendre $\mu_{7}$, donc $\mathbb{F}_{3}(\zeta)=\mathbb{F}_{3}(\mu_{7})$. $$\boxed{\mathbb{F}_{3}(\zeta)=\mathbb{F}_{3^{6}}=\mathbb{F}_{729}}$$ Enfin, d'après le rêve du débutant, $X^{p^{m}}-1=(X-1)^{p^{m}}$ : ce polynôme est déjà scindé sur $\mathbb{F}_{p}$, avec l'unique racine $1$ de multiplicité $p^{m}$. $$\boxed{\text{Le corps de décomposition de } X^{p^{m}}-1 \text{ sur } \mathbb{F}_{p} \text{ est } \mathbb{F}_{p} \text{ lui-même.}}$$