Exercice 33

1. Posons $\theta=\sqrt[3]{2}+\mathrm{j}$. L'extension $\mathbb{Q}\big(\sqrt[3]{2}\,;\mathrm{j}\big)/\mathbb{Q}$ est de degré $6$, séparable, donc monogène ; on vérifie que $\theta$ engendre, son degré devant diviser $6$ sans valoir $1$, $2$ ni $3$ — car $\mathbb{Q}(\theta)$ n'est contenu ni dans $\mathbb{R}$, ni dans $\mathbb{Q}(\mathrm{j})$. $$\boxed{\theta=\sqrt[3]{2}+\mathrm{j} \text{ est un élément primitif, de degré } 6.}$$

2. Posons $K=\mathbb{F}_{p}\big(T^{p}\,;S^{p}\big)$ et $L=\mathbb{F}_{p}(T\,;S)$. On a $[L:K]=p^{2}$, mais tout $\alpha \in L$ vérifie $\alpha^{p} \in K$, donc $[K(\alpha):K] \leqslant p$ : aucun élément n'engendre. Les corps $K\big(T+\lambda S\big)$, pour $\lambda \in \mathbb{F}_{p}(T^{p};S^{p})$, sont deux à deux distincts et en nombre infini. $$\boxed{L/K \text{ est finie sans élément primitif, et possède une infinité de corps intermédiaires.}}$$

3. L'hypothèse manquante se lit sur le polynôme minimal : $$\boxed{\text{La séparabilité : ici } \mu_{\alpha} \text{ divise } X^{p}-\alpha^{p}=(X-\alpha)^{p}.}$$