Exercice 30

1. On teste les puissances successives : $$\boxed{\text{Générateurs de } \mathbb{F}_{7}^{*} : \{3\,;5\} \qquad \text{de } \mathbb{F}_{11}^{*} : \{2\,;6\,;7\,;8\}}$$ On en compte $\varphi(6)=2$ et $\varphi(10)=4$, conformément à la question suivante.

2. Un groupe cyclique d'ordre $m$ possède $\varphi(m)$ générateurs : $$\boxed{\mathbb{F}_{q}^{*} \text{ possède } \varphi(q-1) \text{ générateurs.}}$$

3. Dans le produit $(p-1)!$, chaque élément de $\mathbb{F}_{p}^{*}$ apparaît une fois. On apparie $x$ avec $x^{-1}$ : les paires se simplifient, et il ne reste que les éléments égaux à leur inverse, c'est-à-dire les racines de $X^{2}-1$, à savoir $1$ et $-1$. $$\boxed{(p-1)! \equiv 1 \times (-1)=-1 \; [p]}$$

4. $6!=720=102 \times 7+6$, et $6 \equiv -1 \; [7]$ : $$\boxed{6! \equiv -1 \; [7] \quad \checkmark}$$