Exercice 48

Un sens est immédiat : une factorisation non triviale sur $K$ en est une sur $K(\zeta)$. Réciproquement, supposons $X^{p}-a$ irréductible sur $K$, et soit $\alpha$ une racine, de sorte que $[K(\alpha):K]=p$. Le nombre $\zeta$ est racine de $X^{p-1}+\dots+X+1$, donc $m=[K(\zeta):K] \leqslant p-1$ est premier avec $p$. Le degré $[K(\zeta\,;\alpha):K]$ est divisible par $p$ et par $m$, donc par $mp$, et il vaut au plus $m\,[K(\zeta\,;\alpha):K(\zeta)] \leqslant mp$. Ainsi $[K(\zeta\,;\alpha):K(\zeta)]=p$, et $X^{p}-a$, qui annule $\alpha$, est irréductible sur $K(\zeta)$. $$\boxed{X^{p}-a \text{ est irréductible sur } K \iff \text{il l'est sur } K(\zeta)}$$ Le résultat tombe pour un exposant composé : $X^{4}+1=X^{4}-(-1)$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ d'après l'exercice 19, mais se factorise sur $\mathbb{Q}(\mathrm{i})=\mathbb{Q}(\zeta_{4})$ en $\big(X^{2}-\mathrm{i}\big)\big(X^{2}+\mathrm{i}\big)$. L'argument échoue parce que $[\mathbb{Q}(\mathrm{i}):\mathbb{Q}]=2$ n'est pas premier avec $4$.