Exercice 47

La formule $2\cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{2+2\cos\theta}$, valable pour $\theta \in [0\,;\pi]$, appliquée trois fois à partir de $2\cos\dfrac{\pi}{4}=\sqrt{2}$, donne : $$\alpha=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}=2\cos\frac{\pi}{16}=\zeta+\zeta^{-1} \qquad\text{avec}\qquad \zeta=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/16}$$ et $\zeta$ est une racine primitive $32$-ième de l'unité. L'extension $\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}$ est galoisienne de groupe $\big(\mathbb{Z}/32\mathbb{Z}\big)^{*}$, abélien, d'après le théorème 7.2 : tous ses sous-groupes sont distingués, donc le sous-corps $\mathbb{Q}(\alpha)$ est galoisien sur $\mathbb{Q}$.

Le nombre $\zeta$ est racine de $X^{2}-\alpha X+1 \in \mathbb{Q}(\alpha)[X]$ et n'est pas réel, alors que $\mathbb{Q}(\alpha) \subset \mathbb{R}$ : ainsi $[\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}(\alpha)]=2$, et $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}(\alpha))$ est le sous-groupe $\{\pm 1\}$, qui correspond à la conjugaison. Par conséquent : $$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}) \simeq \big(\mathbb{Z}/32\mathbb{Z}\big)^{*}/\{\pm 1\}, \text{ d'ordre } \frac{16}{2}=8$$ Ce quotient est cyclique : $3^{4}=81 \equiv 17 \;[32]$ n'est pas $\pm 1$, donc la classe de $3$ n'est pas d'ordre divisant $4$ ; elle est d'ordre $8$ et engendre le quotient. $$\boxed{\mathbb{Q}\Big(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\Big)/\mathbb{Q} \text{ est galoisienne de groupe } \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}.}$$ Le polynôme minimal de $\alpha$ est $X^{8}-8X^{6}+20X^{4}-16X^{2}+2$, irréductible par Eisenstein en $2$ : on retrouve le degré $8$ sans passer par la cyclotomie.