Exercice 13

Le cas d'un $p$-groupe. Supposons $|G|=p^{n}$, et soit $g$ un élément d'ordre maximal $p^{m}$. Tout $h \in G$ a un ordre $p^{k}$ avec $k \leqslant m$. Le groupe cyclique $\langle g \rangle$ possède un sous-groupe d'ordre $p^{k}$, à savoir $\big\langle g^{p^{m-k}} \big\rangle$ ; or $\langle h \rangle$ est aussi d'ordre $p^{k}$, et l'hypothèse d'unicité impose $\langle h \rangle=\big\langle g^{p^{m-k}} \big\rangle \subseteq \langle g \rangle$. Ainsi $G=\langle g \rangle$ est cyclique.

Le cas général. Écrivons $|G|=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{r}^{a_{r}}$. Pour chaque $i$, les $p_{i}$-Sylow sont tous de même ordre, donc il n'y en a qu'un, $P_{i}$ : il est distingué, puisque ses conjugués sont encore des $p_{i}$-Sylow. Les sous-groupes de $P_{i}$ étant des sous-groupes de $G$, le groupe $P_{i}$ hérite de l'hypothèse, et il est cyclique d'après le premier cas ; soit $g_{i}$ un générateur.

Pour $i \neq j$, les éléments de $P_{i}$ et de $P_{j}$ commutent : si $x \in P_{i}$ et $y \in P_{j}$, le commutateur $xyx^{-1}y^{-1}$ appartient à $P_{i}$, puisque $yx^{-1}y^{-1} \in P_{i}$, et à $P_{j}$, puisque $xyx^{-1} \in P_{j}$ ; or $P_{i} \cap P_{j}=\{e\}$, les ordres étant premiers entre eux. L'élément $g=g_{1}\cdots g_{r}$ est alors un produit d'éléments qui commutent deux à deux et d'ordres premiers entre eux : son ordre est le produit de ces ordres, c'est-à-dire $|G|$. $$\boxed{G=\langle g_{1}\cdots g_{r} \rangle \text{ est cyclique.}}$$ La réciproque est vraie : un groupe cyclique d'ordre $n$ possède exactement un sous-groupe de chaque ordre divisant $n$.