Exercice 14

Les $5$-Sylow sont en nombre $n_{5} \equiv 1 \;[5]$ divisant $12$, donc $n_{5} \in \{1\,;6\}$, et l'hypothèse impose $n_{5}=6$. Deux $5$-Sylow distincts se coupant trivialement, $G$ contient $6\times 4=24$ éléments d'ordre $5$. Supposons l'existence d'un sous-groupe distingué $N$ avec $\{e\} \neq N \neq G$.

Un lemme. Tout groupe $H$ d'ordre $30$ possède un unique $5$-Sylow. En effet $n_{5}(H) \in \{1\,;6\}$ et $n_{3}(H) \in \{1\,;10\}$, et l'on ne peut avoir à la fois $n_{5}=6$ et $n_{3}=10$, ce qui ferait $24+20>30$ éléments. Si $n_{3}(H)=1$, le $3$-Sylow $Q$ est distingué, $QP$ est un sous-groupe d'ordre $15$ pour tout $5$-Sylow $P$, donc d'indice $2$ et distingué. Ce sous-groupe d'ordre $15$ est cyclique (exercice 12) et contient tous les $5$-Sylow de $H$, puisque l'image de l'un d'eux dans le quotient d'ordre $2$ est triviale : il n'en contient qu'un, donc $n_{5}(H)=1$.

Si $5$ divise $|N|$. Alors $N$ contient un $5$-Sylow de $G$, donc tous ses conjugués, c'est-à-dire les six. Ainsi $|N| \geqslant 1+24=25$, et $|N|$ est un diviseur strict de $60$ multiple de $5$ : c'est $30$. Le lemme contredit alors la présence de six $5$-Sylow dans $N$.

Si $5$ ne divise pas $|N|$. On a $|N| \in \{2\,;3\,;4\,;6\,;12\}$. Si $|N|=6$ ou $12$, le groupe $N$ possède un sous-groupe de Sylow qui y est unique : pour l'ordre $6$ c'est le $3$-Sylow, pour l'ordre $12$ l'un des deux d'après l'exercice 12. Ce sous-groupe $N'$ est distingué dans $G$, car $gN'g^{-1}$ est un sous-groupe de $gNg^{-1}=N$ de même ordre, donc égal à $N'$. Quitte à remplacer $N$ par $N'$, on peut supposer $|N| \in \{2\,;3\,;4\}$.

Le quotient $G/N$ est alors d'ordre $30$, $20$ ou $15$, et possède un unique $5$-Sylow : par le lemme pour l'ordre $30$, et parce que $n_{5}$ divise $4$ ou $3$ dans les autres cas. Si $P$ est un $5$-Sylow de $G$, son image $PN/N$ est ce $5$-Sylow, qui est distingué dans $G/N$ ; d'après le théorème de correspondance, $PN$ est distingué dans $G$. Il contient alors les six $5$-Sylow, donc au moins $25$ éléments, alors que $|PN|=5\,|N| \leqslant 20$ : c'est absurde. $$\boxed{G \text{ est simple.}}$$ On peut montrer qu'un groupe simple d'ordre $60$ est isomorphe à $\mathfrak{A}_{5}$ : cet exercice est ainsi la première étape d'une caractérisation de $\mathfrak{A}_{5}$ par son ordre.