Exercice 15

1. La composée vérifie $\varphi_{a,b} \circ \varphi_{a',b'}=\varphi_{aa',\,ab'+b}$, ce qui montre la stabilité ; l'inverse est $\varphi_{a^{-1},\,-a^{-1}b}$. Le couple $(a\,;b)$ décrit $\mathbb{F}_{p}^{*} \times \mathbb{F}_{p}$ : $$\boxed{\big|\mathrm{Aff}(\mathbb{F}_{p})\big|=p(p-1)}$$ La formule ci-dessus n'est pas symétrique dès que $p \geqslant 3$ : avec $\varphi_{2,0}$ et $\varphi_{1,1}$, on obtient $\varphi_{2,2}$ dans un sens et $\varphi_{2,1}$ dans l'autre.

2. On a $\varphi_{a,b} \circ \varphi_{1,t} \circ \varphi_{a,b}^{-1}=\varphi_{1,at}$, qui est encore une translation. L'application $\varphi_{a,b} \mapsto a$ est un morphisme surjectif sur $\mathbb{F}_{p}^{*}$, de noyau $T$ : $$\boxed{T \simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \text{ est distingué, et } \mathrm{Aff}(\mathbb{F}_{p})/T \simeq \mathbb{F}_{p}^{*} \simeq \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}}$$

3. La suite $\{\mathrm{id}\} \trianglelefteq T \trianglelefteq \mathrm{Aff}(\mathbb{F}_{p})$ a pour quotients successifs $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z}$, tous deux abéliens. $$\boxed{\mathrm{Aff}(\mathbb{F}_{p}) \text{ est résoluble.}}$$

4. Si $\varphi_{a,b}$ est central, il commute avec toute translation, ce qui impose $at=t$ pour tout $t$, donc $a=1$ ; et il commute avec $\varphi_{c,0}$ pour $c \neq 1$, ce qui impose $b=cb$, donc $b=0$. $$\boxed{Z\big(\mathrm{Aff}(\mathbb{F}_{p})\big)=\{\mathrm{id}\} \text{ pour } p \geqslant 3.}$$

5. Pour $p=3$, l'ordre vaut $3 \times 2=6$, et le groupe n'est pas abélien. $$\boxed{\mathrm{Aff}(\mathbb{F}_{3}) \simeq \mathfrak{S}_{3}, \text{ d'après l'unicité établie à l'exercice 4.}}$$

6. Pour $x$, $y \in \mathbb{F}_{p}$, la translation $\varphi_{1,y-x}$ envoie $x$ sur $y$ : l'action est transitive, l'orbite de $0$ est $\mathbb{F}_{p}$ tout entier. Le stabilisateur de $0$ est formé des $\varphi_{a,0}$, c'est-à-dire des homothéties. $$\boxed{\big|\mathcal{O}(0)\big| \times \big|\mathrm{Stab}(0)\big|=p \times (p-1)=\big|\mathrm{Aff}(\mathbb{F}_{p})\big| \quad \checkmark}$$