Exercice 16

1. Une matrice de $\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{F}_{3})$ est déterminée par une base $(u\,;v)$ de $\mathbb{F}_{3}^{2}$ : il y a $3^{2}-1=8$ choix pour $u$ non nul, puis $3^{2}-3=6$ choix pour $v$ hors de la droite engendrée par $u$, soit $48$ matrices. Le déterminant est un morphisme surjectif de $\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{F}_{3})$ sur $\mathbb{F}_{3}^{*}$, d'ordre $2$ : $$\boxed{\big|\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{F}_{3})\big|=\frac{48}{2}=24}$$

2. Soit $A \in G$ avec $A^{2}=I_{2}$. Le polynôme $X^{2}-1=(X-1)(X+1)$ annule $A$ et est scindé à racines simples sur $\mathbb{F}_{3}$, donc $A$ est diagonalisable de valeurs propres dans $\{\pm 1\}$. Comme $\det A=1$, ces valeurs propres sont $(1\,;1)$ ou $(-1\,;-1)$, d'où $A=I_{2}$ ou $A=-I_{2}$. $$\boxed{-I_{2} \text{ est le seul élément d'ordre } 2 \text{ de } \mathrm{SL}_{2}(\mathbb{F}_{3}).}$$

3. L'exercice 3 a dénombré $6+3=9$ éléments d'ordre $2$ dans $\mathfrak{S}_{4}$. $$\boxed{\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{F}_{3}) \not\simeq \mathfrak{S}_{4}, \text{ bien que tous deux soient d'ordre } 24.}$$ À retenir : l'ordre ne détermine pas le groupe. Il existe en fait quinze groupes d'ordre $24$ à isomorphisme près.

4. Le sous-groupe $\{\pm I_{2}\}$ est le centre de $G$, donc distingué, et le quotient est d'ordre $\dfrac{24}{2}=12$. $$\boxed{\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{F}_{3})/\{\pm I_{2}\} \simeq \mathfrak{A}_{4}}$$

5. Le groupe $\mathfrak{A}_{4}$ est résoluble, avec la suite $\{\mathrm{id}\} \trianglelefteq V \trianglelefteq \mathfrak{A}_{4}$, et $\{\pm I_{2}\} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ l'est aussi. Le théorème 2.8 assure qu'une extension d'un groupe résoluble par un groupe résoluble est résoluble. $$\boxed{\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{F}_{3}) \text{ est résoluble.}}$$

6. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{Deux groupes de même ordre peuvent différer par la répartition des ordres} \\[1mm] \text{de leurs éléments, par leur centre, ou par leurs sous-groupes distingués.} \end{array}}$$ Ici $Z\big(\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{F}_{3})\big)$ est d'ordre $2$ alors que $Z(\mathfrak{S}_{4})$ est trivial : c'est une seconde façon, indépendante de la première, de séparer les deux groupes.