Exercice 27

L'heptagone. Posons $\zeta=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/7}$ et $c=\zeta+\zeta^{-1}=2\cos\dfrac{2\pi}{7}$. En divisant la relation $1+\zeta+\dots+\zeta^{6}=0$ par $\zeta^{3}$, et en utilisant $\zeta^{2}+\zeta^{-2}=c^{2}-2$ et $\zeta^{3}+\zeta^{-3}=c^{3}-3c$, on obtient : $$c^{3}+c^{2}-2c-1=0$$ Ce polynôme de degré $3$ n'a pas de racine rationnelle, ses seules candidates $\pm 1$ donnant $-1$ et $1$ : il est irréductible, et $\cos\dfrac{2\pi}{7}$ est de degré $3$ sur $\mathbb{Q}$. Or construire l'heptagone régulier revient à construire $\cos\dfrac{2\pi}{7}$ ; le critère de Wantzel l'interdit, $3$ n'étant pas une puissance de $2$.

L'ennéagone. La formule $\cos(3\theta)=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$, appliquée à $\theta=\dfrac{2\pi}{9}$, montre que $x=\cos\dfrac{2\pi}{9}$ est racine de $8X^{3}-6X+1$. Aucun des candidats $\pm 1$, $\pm\frac{1}{2}$, $\pm\frac{1}{4}$, $\pm\frac{1}{8}$ n'est racine : ce polynôme est irréductible, et la même conclusion s'impose. $$\boxed{\text{Ni l'heptagone ni l'ennéagone réguliers ne sont constructibles.}}$$ La quadrature. Le critère de Wantzel ne porte que sur des nombres algébriques : il exige que le nombre à construire soit racine d'un polynôme, pour en mesurer le degré. Or la quadrature du cercle demande de construire $\sqrt{\pi}$, et l'on doit admettre un résultat d'une autre nature, la transcendance de $\pi$ démontrée par Lindemann en 1882.