Exercice 26

Le polynôme $X^{5}-2$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ par le critère d'Eisenstein en $2$. En notant $\alpha=\sqrt[5]{2}$ et $\zeta=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/5}$, ses racines sont les $\alpha\zeta^{k}$ pour $0 \leqslant k \leqslant 4$. Le corps $L=\mathbb{Q}(\alpha\,;\zeta)$ les contient toutes, et il est engendré par elles puisque $\zeta=\dfrac{\alpha\zeta}{\alpha}$ : $$\boxed{L=\mathbb{Q}\big(\sqrt[5]{2}\,;\zeta\big)}$$ On a $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=5$ et $[\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}]=4$, puisque $\zeta$ est racine de $\Phi_{5}$, irréductible. Ces deux degrés divisent $[L:\mathbb{Q}]$ et sont premiers entre eux, donc $20$ divise $[L:\mathbb{Q}]$. Par ailleurs $\zeta$ est racine de $\Phi_{5}$ sur $\mathbb{Q}(\alpha)$, donc $[L:\mathbb{Q}(\alpha)] \leqslant 4$ et $[L:\mathbb{Q}] \leqslant 20$. $$\boxed{[L:\mathbb{Q}]=20}$$