Exercice 25

Soit $g$ un facteur irréductible de $f$ de degré $d$ minimal, et $L=K[X]/(g)$ un corps de rupture de $g$, de degré $d$ sur $K$. Le polynôme $f$ y possède une racine, donc il y est scindé par hypothèse. Chaque facteur irréductible $h$ de $f$ possède alors une racine $\beta \in L$, et $K(\beta) \subseteq L$ : par multiplicativité des degrés, $\deg h=[K(\beta):K]$ divise $[L:K]=d$. Par minimalité de $d$, on obtient $\deg h=d$.

Tous les facteurs irréductibles de $f$ ont donc le même degré $d$, et $d$ divise $\deg f=p$. Ainsi $d=1$, auquel cas $f$ a une racine dans $K$, ou $d=p$, auquel cas $f$ est irréductible. $$\boxed{f \text{ est irréductible sur } K \text{ ou possède une racine dans } K.}$$ Sans l'hypothèse de primalité, la conclusion tombe : sur $\mathbb{Q}$, le polynôme $\big(X^{2}-2\big)^{2}$, de degré $4$, vérifie l'hypothèse, puisque toute extension contenant l'une des racines $\pm\sqrt{2}$ contient l'autre ; il n'est pourtant ni irréductible, ni pourvu d'une racine rationnelle.