Exercice 24

Soit $E$ une extension de $F$ de degré $2$ et $\beta \in E \setminus F$, de polynôme minimal $X^{2}+bX+c$. Comme la caractéristique est différente de $2$, on peut compléter le carré : $\delta=2\beta+b$ vérifie $\delta^{2}=b^{2}-4c=:d \in F$, et $E=F(\delta)$. Le nombre $d$ n'est pas un carré dans $F$, sinon $\delta \in F$.

1. Soit $x=u+v\delta \in E$, avec $u,v \in F$. Alors $x^{2}=u^{2}+dv^{2}+2uv\delta$ appartient à $F$ si et seulement si $uv=0$, et vaut alors $u^{2}$ ou $dv^{2}$. Ainsi : $$\boxed{S(E)=F^{*2} \cup d\,F^{*2}}$$ C'est la réunion de deux classes de $F^{*}$ modulo le sous-groupe $F^{*2}$ ; comme $d^{2} \in F^{*2}$, c'est le sous-groupe engendré par $F^{*2}$ et $d$.

2. Un $F$-isomorphisme $E \to E'$ envoie un carré sur un carré et fixe $F^{*}$, donc $S(E) \subseteq S(E')$ ; par symétrie, $S(E)=S(E')$. Réciproquement, si $S(E)=S(E')$ avec $E=F(\delta)$, $\delta^{2}=d$, alors $d \in S(E')$ : il existe $\delta' \in E'$ tel que $\delta'^{2}=d$. Comme $d$ n'est pas un carré dans $F$, on a $F(\delta')=E'$ par égalité des degrés, et les deux corps sont isomorphes à $F[X]/\big(X^{2}-d\big)$. $$\boxed{E \simeq_{F} E' \iff S(E)=S(E')}$$

3. Pour chaque nombre premier $q$, posons $E_{q}=\mathbb{Q}\big(\sqrt{q}\big)$, de sorte que $S(E_{q})=\mathbb{Q}^{*2} \cup q\,\mathbb{Q}^{*2}$. Si $q \neq q'$, le rationnel $q'$ n'appartient pas à $S(E_{q})$, car ni $q'$ ni $q'/q$ n'est un carré dans $\mathbb{Q}$. $$\boxed{\text{Les corps } \mathbb{Q}\big(\sqrt{q}\big), \ q \text{ premier, sont deux à deux non isomorphes.}}$$