ExerciceMaster — Théorie de Galois · Chapitre 4 - Extensions de corps

Exercice 23

Calcul

1. Déterminer le polynôme minimal sur $\mathbb{Q}$ de chacun des nombres ci-dessous, en justifiant à chaque fois l'irréductibilité.

(a) $\sqrt[3]{5}$

(b) $\mathrm{i}\sqrt{3}$

(c) $\zeta_{5}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/5}$

(d) $1+\sqrt{2}$

2. Déterminer le polynôme minimal de $\sqrt{2}$ sur $\mathbb{Q}\big(\sqrt{3}\big)$ , puis sur $\mathbb{Q}\big(\sqrt{2}\big)$ .

Corrigé

1. On identifie le polynôme minimal puis on justifie son irréductibilité :

$\alpha$	$\mu_{\alpha}$	irréductibilité
$\sqrt[3]{5}$	$X^{3}-5$	Eisenstein en $5$
$\mathrm{i}\sqrt{3}$	$X^{2}+3$	pas de racine réelle
$\zeta_{5}$	$X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$	c'est $\Phi_{5}$ (Eisenstein après $X \mapsto X+1$ )
$1+\sqrt{2}$	$X^{2}-2X-1$	discriminant $8$ , non carré dans $\mathbb{Q}$

2. Sur $\mathbb{Q}\big(\sqrt{3}\big)$ , le polynôme $X^{2}-2$ reste sans racine, car $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\big(\sqrt{3}\big)$ : l'égalité $\sqrt{2}=a+b\sqrt{3}$ donnerait $2=a^{2}+3b^{2}+2ab\sqrt{3}$ , donc $ab=0$ , puis $2=a^{2}$ ou $2=3b^{2}$ , ce qui est impossible dans $\mathbb{Q}$ : $\boxed{\mu_{\sqrt{2}/\mathbb{Q}(\sqrt{3})}=X^{2}-2 \qquad \mu_{\sqrt{2}/\mathbb{Q}(\sqrt{2})}=X-\sqrt{2}}$

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 17 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Éléments algébriques et polynôme minimal Cyclotomie et constructions à la règle et au compas

Thèmes

polynôme minimal, cyclotomie

Notions

polynôme minimal, polynôme cyclotomique