Exercice 22

1. Les quatre unitaires de degré $2$ sont $X^{2}$, $X^{2}+1$, $X^{2}+X$, $X^{2}+X+1$. Les trois premiers ont une racine dans $\mathbb{F}_{2}$ : $$\boxed{\text{Un seul irréductible : } X^{2}+X+1.}$$

2. Parmi les huit unitaires de degré $3$, ceux sans racine sont ceux dont le terme constant vaut $1$ et qui ont un nombre impair de coefficients non nuls : $$\boxed{X^{3}+X+1 \quad\text{et}\quad X^{3}+X^{2}+1}$$

3. Fixons un nombre premier $p$ et un entier $n\geqslant 1$, et posons $F=X^{p^{n}}-X$. Tout repose sur la factorisation suivante : $F$ est le produit des polynômes unitaires irréductibles de $\mathbb{F}_{p}[X]$ dont le degré divise $n$, chacun n'apparaissant qu'une seule fois. On l'établit en deux étapes, puis on compare les degrés.

Première étape : $F$ n'a pas de facteur carré. Supposons $F=Q^{2}R$ avec $Q$ non constant. Le polynôme dérivé, défini formellement par $\big(X^{m}\big)'=mX^{m-1}$ et prolongé par linéarité, vérifie la règle de dérivation d'un produit, ce que l'on contrôle sur les monômes. On en tire : $$F'=2QQ'R+Q^{2}R'=Q\,\big(2Q'R+QR'\big)$$ donc $Q$ divise $F'$. Or $F'=p^{n}X^{p^{n}-1}-1=-1$, puisque l'entier $p^{n}$ est nul dans $\mathbb{F}_{p}$. Un polynôme non constant ne pouvant pas diviser $-1$, c'est absurde.

Deuxième étape : un polynôme unitaire irréductible $P$ de degré $d$ divise $F$ si et seulement si $d$ divise $n$. On travaille dans $K=\mathbb{F}_{p}[X]/(P)$, qui est un corps puisque $P$ est irréductible (théorème 3.2), exactement comme $\mathbb{F}_{4}$ à l'exercice 21. On note $\alpha$ la classe de $X$ : pour tout polynôme $Q$, la classe de $Q$ est $Q(\alpha)$, de sorte que $Q(\alpha)=0$ si et seulement si $P$ divise $Q$. Trois faits vont servir.

Premier fait : $K$ a $p^{d}$ éléments. Chaque classe contient en effet un unique reste de la division euclidienne par $P$, c'est-à-dire un polynôme de degré au plus $d-1$, dont les $d$ coefficients se choisissent de $p$ façons chacun.

Deuxième fait : tout $x\in K$ vérifie $x^{p^{d}}=x$. Si $x\neq 0$, le théorème de Lagrange, appliqué dans le groupe $K^{*}$ d'ordre $p^{d}-1$, donne $x^{p^{d}-1}=1$, puis on multiplie par $x$ ; si $x=0$, c'est évident.

Troisième fait : l'application $x\mapsto x^{p}$ est un morphisme d'anneaux de $K$ dans lui-même. Elle respecte évidemment le produit, et la formule du binôme donne $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$, puisque $p$ divise $\binom{p}{k}$ pour $1\leqslant k\leqslant p-1$ (exercice 19, question 3) et que $p\cdot 1=0$ dans $K$. En la composant $n$ fois avec elle-même, on obtient que $x\mapsto x^{p^{n}}$ est aussi un morphisme d'anneaux.

Supposons d'abord que $d$ divise $n$, et écrivons $n=qd$. En appliquant $q$ fois le deuxième fait, on obtient $\alpha^{p^{n}}=\alpha$, c'est-à-dire $F(\alpha)=0$ : donc $P$ divise $F$.

Réciproquement, supposons que $P$ divise $F$, c'est-à-dire que $\alpha^{p^{n}}=\alpha$. L'ensemble des $x\in K$ tels que $x^{p^{n}}=x$ est stable par somme et par produit, d'après le troisième fait ; il contient les éléments de $\mathbb{F}_{p}$, qui vérifient $x^{p}=x$ d'après le petit théorème de Fermat, ainsi que $\alpha$. Il contient donc toutes les expressions polynomiales en $\alpha$, c'est-à-dire $K$ tout entier. Écrivons alors $n=qd+r$ avec $0\leqslant r<d$. Pour tout $x\in K$, le deuxième fait donne $x^{p^{qd}}=x$, d'où : $$x=x^{p^{n}}=\big(x^{p^{qd}}\big)^{p^{r}}=x^{p^{r}}$$ Si l'on avait $r\geqslant 1$, le polynôme non nul $X^{p^{r}}-X$, de degré $p^{r}$, aurait les $p^{d}$ éléments de $K$ pour racines, avec $p^{d}>p^{r}$ : c'est impossible dans un corps, d'après la proposition 3.6. Donc $r=0$, et $d$ divise $n$.

Conclusion. Le polynôme $F$ est unitaire, et se décompose de façon unique en produit de polynômes unitaires irréductibles de $\mathbb{F}_{p}[X]$. D'après la première étape, chaque facteur n'y apparaît qu'une fois ; d'après la deuxième, ces facteurs sont exactement les unitaires irréductibles dont le degré divise $n$. En notant $\mathcal{I}_{d}$ l'ensemble des $N_{d}$ unitaires irréductibles de degré $d$ : $$X^{p^{n}}-X=\prod_{d\mid n}\ \prod_{P\in\mathcal{I}_{d}}P$$ Le membre de droite est un produit de $N_{d}$ polynômes de degré $d$ pour chaque diviseur $d$ de $n$ : son degré vaut $\sum_{d\mid n}d\,N_{d}$, celui de gauche vaut $p^{n}$. $$\boxed{\sum_{d \mid n} d\,N_{d}=p^{n}}$$ Par exemple, pour $p=2$ et $n=3$, on obtient $X^{8}-X=X\,(X+1)\big(X^{3}+X+1\big)\big(X^{3}+X^{2}+1\big)$, de degré $1+1+3+3=8$ : on y retrouve les deux irréductibles de degré $1$ et les deux irréductibles de degré $3$ de la question 2.

Remarque. Cette factorisation sera au cœur de l'étude des corps finis au chapitre 5. On voit ici qu'elle se démontre dès le chapitre 3, avec le théorème de Lagrange, la construction de $\mathbb{F}_{p}[X]/(P)$ et la majoration du nombre de racines d'un polynôme.

4. On applique la question 3 avec $p=2$, successivement pour $n=1$, $2$, $3$ et $4$. Les diviseurs de $2$ sont $1$ et $2$, ceux de $3$ sont $1$ et $3$, ceux de $4$ sont $1$, $2$ et $4$ : $$N_{1}=2 \qquad N_{1}+2N_{2}=4 \qquad N_{1}+3N_{3}=8 \qquad N_{1}+2N_{2}+4N_{4}=16$$ On en tire successivement $N_{2}=1$, $N_{3}=2$, puis $N_{4}=\dfrac{16-2-2}{4}=3$. $$\boxed{N_{1}=2,\quad N_{2}=1,\quad N_{3}=2,\quad N_{4}=3}$$ Les valeurs de $N_{2}$ et $N_{3}$ confirment les questions 1 et 2. Les trois irréductibles de degré $4$ sont $X^{4}+X+1$, $X^{4}+X^{3}+1$ et $X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$.