Exercice 21

1. Le polynôme $X^{2}+X+1$ n'a pas de racine dans $\mathbb{F}_{2}$, donc est irréductible. En notant $\alpha$ la classe de $X$, on a $\mathbb{F}_{4}=\{0\,;1\,;\alpha\,;\alpha+1\}$ avec $\alpha^{2}=\alpha+1$.

2. $\mathbb{F}_{4}^{*}$ est d'ordre $3$, donc cyclique, et tout élément $\neq 1$ l'engendre : $$\boxed{\alpha \text{ est un générateur, avec } \alpha^{2}=\alpha+1 \text{ et } \alpha^{3}=1.}$$

3. $X^{3}+X+1$ est irréductible sur $\mathbb{F}_{2}$ (exercice 19), donc le quotient est un corps à $2^{3}=8$ éléments. La classe $\beta$ de $X$ vérifie $\beta^{3}=\beta+1$, et $\mathbb{F}_{8}^{*}$ est d'ordre $7$ premier : $$\boxed{\big|\mathbb{F}_{8}\big|=8, \text{ et } \beta \text{ est d'ordre } 7.}$$

4. Le polynôme $X^{2}+1$ n'a pas de racine dans $\mathbb{F}_{3}$, puisque $0^{2}+1=1$, $1^{2}+1=2$ et $2^{2}+1=2$ : $$\boxed{\mathbb{F}_{9}=\mathbb{F}_{3}[X]/\big(X^{2}+1\big)=\big\{a+b\mathrm{i} \;\big|\; a,b \in \mathbb{F}_{3}\big\}}$$