Exercice 20

Le polynôme $P=X^{3}-X^{2}+X+2$ est de degré $3$, et ses seules racines rationnelles possibles sont $\pm 1$ et $\pm 2$ ; or $P(1)=3$, $P(-1)=-1$, $P(2)=8$ et $P(-2)=-12$. Il est donc irréductible sur $\mathbb{Q}$, et le quotient est un corps d'après la proposition 3.7 et le théorème 3.2.

Le produit. On réduit à l'aide de $\alpha^{3}=\alpha^{2}-\alpha-2$, d'où $\alpha^{4}=\alpha^{3}-\alpha^{2}-2\alpha=-3\alpha-2$ : $$\big(\alpha^{2}+\alpha+1\big)\big(\alpha^{2}-\alpha\big)=\alpha^{4}-\alpha \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\big(\alpha^{2}+\alpha+1\big)\big(\alpha^{2}-\alpha\big)=-4\alpha-2}$$

L'inverse. La division de $P$ par $X-1$ donne $P=(X-1)\big(X^{2}+1\big)+3$, puisque $P(1)=3$. En évaluant en $\alpha$, il vient $(\alpha-1)\big(\alpha^{2}+1\big)=-3$ : $$\boxed{(\alpha-1)^{-1}=-\frac{1}{3}\alpha^{2}-\frac{1}{3}}$$ Cette astuce n'est qu'un cas particulier de la relation de Bézout entre $P$ et $X-1$, qui fournit l'inverse de tout élément non nul.