Exercice 44

1. $\mathbb{Q}(\zeta_{15})$ est le corps de décomposition de $X^{15}-1$, séparable puisque $\mathrm{pgcd}\big(X^{15}-1\,;15X^{14}\big)=1$ en caractéristique nulle : $$\boxed{\text{Extension galoisienne de degré } \varphi(15)=8.}$$

2. Tout $\sigma \in G$ envoie $\zeta_{15}$ sur $\zeta_{15}^{k}$ avec $\mathrm{pgcd}(k\,;15)=1$, et $\sigma \mapsto \overline{k}$ est un isomorphisme. Par le théorème chinois : $$\boxed{G \simeq \big(\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}\big)^{*} \simeq \big(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\big)^{*} \times \big(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\big)^{*} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}}$$

3. Le groupe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ possède huit sous-groupes, dont trois d'ordre $4$ : $$\boxed{\text{Huit corps intermédiaires, dont trois quadratiques : } \mathbb{Q}\big(\sqrt{5}\big), \; \mathbb{Q}\big(\sqrt{-3}\big), \; \mathbb{Q}\big(\sqrt{-15}\big).}$$

4. La somme de Gauss $\displaystyle g=\sum_{k=1}^{4}\left(\frac{k}{5}\right)\zeta_{5}^{k}=\zeta_{5}+\zeta_{5}^{4}-\zeta_{5}^{2}-\zeta_{5}^{3}$ vérifie $g^{2}=5$ : $$\boxed{\sqrt{5}=\zeta_{5}+\zeta_{5}^{4}-\zeta_{5}^{2}-\zeta_{5}^{3} \in \mathbb{Q}(\zeta_{5}) \subset \mathbb{Q}(\zeta_{15})}$$ On peut aussi écrire $\zeta_{5}+\zeta_{5}^{4}=2\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

5. $\mathrm{Gal}\big(\mathbb{Q}(\zeta_{p})/\mathbb{Q}\big) \simeq \big(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\big)^{*}$ est cyclique d'ordre $p-1$ pair, donc possède un unique sous-groupe d'indice $2$, donc $\mathbb{Q}(\zeta_{p})$ possède un unique sous-corps quadratique. La somme de Gauss donne $g^{2}=\left(\frac{-1}{p}\right)p$ : $$\boxed{\mathbb{Q}\big(\sqrt{p}\big) \text{ si } p \equiv 1 \; [4] \qquad \mathbb{Q}\big(\sqrt{-p}\big) \text{ si } p \equiv 3 \; [4]}$$