Exercice 45

1. On a $X^{16}-1=\prod_{d \mid 16}\Phi_{d}$, et $16=2^{4}$ n'a que des diviseurs de la forme $2^{j}$. Comme $X^{8}-1=\prod_{j \leqslant 3}\Phi_{2^{j}}$, il vient $\Phi_{16}=\dfrac{X^{16}-1}{X^{8}-1}=X^{8}+1$. $$\boxed{\Phi_{16}=X^{8}+1 \qquad\text{et}\qquad \big[\mathbb{Q}(\zeta_{16}):\mathbb{Q}\big]=\varphi(16)=8}$$

2. Le groupe $\big(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}\big)^{*}=\{1\,;3\,;5\,;7\,;9\,;11\,;13\,;15\}$ est d'ordre $8$. On calcule les ordres :

$$\boxed{\text{Aucun élément d'ordre } 8 : \big(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}\big)^{*} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}}$$ Un isomorphisme est donné par $(-1)^{i}5^{j} \mapsto (i\,;j)$.

3. $$\boxed{\mathrm{Gal}\big(\mathbb{Q}(\zeta_{16})/\mathbb{Q}\big) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \text{ n'est pas cyclique.}}$$ Piège à retenir. On retient volontiers que $\mathrm{Gal}\big(\mathbb{Q}(\zeta_{n})/\mathbb{Q}\big) \simeq \big(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\big)^{*}$ et que ce groupe est cyclique. La seconde affirmation n'est vraie que pour $n$ premier, ou plus généralement pour $n \in \{1\,;2\,;4\,;p^{k}\,;2p^{k}\}$ avec $p$ impair. Dès $n=16$, elle tombe.

4. Les sous-corps quadratiques correspondent aux sous-groupes d'indice $2$, c'est-à-dire d'ordre $4$. Le groupe $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ en possède trois. $$\boxed{\mathbb{Q}(\mathrm{i}) \;,\; \mathbb{Q}\big(\sqrt{2}\big) \;,\; \mathbb{Q}\big(\sqrt{-2}\big)}$$ En effet $\zeta_{16}^{4}=\mathrm{i}$ et $\zeta_{16}^{2}+\zeta_{16}^{-2}=2\cos\dfrac{\pi}{4}=\sqrt{2}$.

5. Posons $k \geqslant 3$. On démontre par récurrence que $5^{2^{k-3}}=1+2^{k-1}+\lambda 2^{k}$ pour un entier $\lambda$, ce qui donne $5^{2^{k-3}} \neq 1$ et $5^{2^{k-2}}=1$ modulo $2^{k}$ : l'élément $5$ est d'ordre $2^{k-2}$. Par ailleurs $\langle 5 \rangle$ ne contient que des éléments congrus à $1$ modulo $4$, alors que $-1 \equiv 3 \; [4]$. $$\boxed{\big(\mathbb{Z}/2^{k}\mathbb{Z}\big)^{*}=\{\pm 1\} \times \langle 5 \rangle \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2^{k-2}\mathbb{Z}}$$

6. Aucune : le critère de constructibilité porte sur $\varphi(n)$, qui doit être une puissance de $2$, et non sur la cyclicité du groupe. Ici $\varphi(16)=8=2^{3}$. $$\boxed{\text{Le polygone régulier à } 16 \text{ côtés est constructible, comme tout } 2^{k}\text{-gone.}}$$ La tour de radicaux carrés se lit d'ailleurs sur la chaîne de sous-groupes d'indices $2$ successifs du groupe de Galois.