Exercice 55

Irréductibilité. Soit $P=X^{n}+X+3$, et supposons $P=GH$ avec $G,H \in \mathbb{Q}[X]$ unitaires non constants ; d'après le lemme de Gauss (théorème 3.6), on peut les prendre dans $\mathbb{Z}[X]$. Alors $G(0)H(0)=3$, et l'un des deux, disons $G(0)$, vaut $\pm 1$. D'après le théorème fondamental de l'algèbre, $G$ est scindé sur $\mathbb{C}$, et $|G(0)|$ est le produit des modules de ses racines : l'une d'elles, $z$, vérifie $|z| \leqslant 1$. Mais $z$ est racine de $P$, donc $3=\big|z^{n}+z\big| \leqslant |z|^{n}+|z| \leqslant 2$ : c'est absurde. $$\boxed{X^{n}+X+3 \text{ est irréductible sur } \mathbb{Q} \text{ pour tout } n \geqslant 2.}$$ Groupes de Galois. Pour $n=2$, le groupe est $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Pour $n=3$, le discriminant $-4\cdot 1^{3}-27\cdot 3^{2}=-247$ n'est pas un carré : le groupe, transitif et non contenu dans $\mathfrak{A}_{3}$, est $\mathfrak{S}_{3}$. Pour $n=4$, avec les notations de l'exercice 50, la résolvante cubique $X^{3}-12X-1$ n'a pas de racine rationnelle, donc est irréductible ; ses racines appartenant au corps de décomposition d'après l'exercice 41, le degré $3$ divise $|G|$. Le discriminant $-27+256\cdot 27=6\,885$ n'est pas un carré, donc $G \not\subseteq \mathfrak{A}_{4}$. Parmi les sous-groupes transitifs de $\mathfrak{S}_{4}$, seul $\mathfrak{S}_{4}$ a un ordre multiple de $3$ sans être contenu dans $\mathfrak{A}_{4}$. $$\boxed{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \qquad \mathfrak{S}_{3} \qquad \mathfrak{S}_{4} \qquad (n=2,\ 3,\ 4)}$$