Exercice 54

Disposer d'un angle de mesure $\dfrac{2\pi}{n}$ revient à disposer du point $\zeta_{n}=\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}$, et le trisecter revient à construire $\zeta_{3n}$.

Si $3$ ne divise pas $n$. Il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $3u+nv=1$, d'où $\dfrac{2\pi}{3n}=u\cdot\dfrac{2\pi}{n}+v\cdot\dfrac{2\pi}{3}$. L'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ est constructible, puisque le triangle équilatéral l'est, et l'on sait reporter et additionner des angles : la trisection est possible.

Si $3$ divise $n$. Les points constructibles à partir de $0$, $1$ et $\zeta_{n}$ sont obtenus par une suite d'extensions de degré $2$ au-dessus de $\mathbb{Q}(\zeta_{n})$, stable par conjugaison puisque $\overline{\zeta_{n}}=\zeta_{n}^{-1}$ : la démonstration du critère de Wantzel s'applique mot pour mot avec ce corps de base, et tout point constructible a un degré sur $\mathbb{Q}(\zeta_{n})$ qui est une puissance de $2$. Or, d'après le théorème 7.2 : $$\big[\mathbb{Q}(\zeta_{3n}):\mathbb{Q}(\zeta_{n})\big]=\frac{\varphi(3n)}{\varphi(n)}=3 \qquad\text{lorsque } 3 \mid n$$ Donc $\zeta_{3n}$ n'est pas constructible à partir de $\zeta_{n}$. $$\boxed{\text{L'angle } \frac{2\pi}{n} \text{ est trisectable si et seulement si } 3 \nmid n.}$$ Pour $n=6$, on retrouve l'impossibilité de trisecter l'angle $\dfrac{\pi}{3}$, établie au chapitre 4.