ExerciceMaster — Théorie de Galois · Chapitre 7 - Résolubilité par radicaux

Exercice 53

DémonstrationCalcul

1. Déterminer tous les entiers $n$ compris entre $3$ et $30$ pour lesquels le polygone régulier à $n$ côtés est constructible.

2. Justifier chacune des exclusions : $7$ , $9$ , $11$ , $13$ , $14$ , $18$ , $19$ , $21$ , $22$ , $23$ , $25$ , $26$ , $27$ , $28$ , $29$ .

3. Démontrer que si $2^{k}+1$ est premier, alors $k$ est une puissance de $2$ . On appelle nombres de Fermat les entiers $F_{m}=2^{2^{m}}+1$ .

4. Les cinq premiers nombres de Fermat sont-ils tous premiers ? Que sait-on aujourd'hui de cette question, et quelle conséquence cela a-t-il sur la liste des polygones constructibles ?

Corrigé

1. On applique le critère à chaque entier : $\boxed{n \in \{3\,;4\,;5\,;6\,;8\,;10\,;12\,;15\,;16\,;17\,;20\,;24\,;30\}}$

2. On récapitule les exclusions :

$n$	$\varphi(n)$	raison
$7$ , $14$ , $21$ , $28$	$6$ , $6$ , $12$ , $12$	$7$ n'est pas un premier de Fermat
$9$ , $18$ , $27$	$6$ , $6$ , $18$	$3^{2}$ divise $n$
$11$ , $22$	$10$ , $10$	$11$ n'est pas un premier de Fermat
$13$ , $26$	$12$ , $12$	$13$ n'est pas un premier de Fermat
$19$	$18$	$19$ n'est pas un premier de Fermat
$23$	$22$	$23$ n'est pas un premier de Fermat
$25$	$20$	$5^{2}$ divise $n$
$29$	$28$	$29$ n'est pas un premier de Fermat

3. Si $k=ab$ avec $a$ impair $>1$ , alors $2^{b}+1$ divise $2^{ab}+1$ , puisque $Y+1$ divise $Y^{a}+1$ pour $a$ impair, avec $Y=2^{b}$ . Le nombre $2^{k}+1$ n'est donc pas premier. $\boxed{2^{k}+1 \text{ premier} \Longrightarrow k \text{ est une puissance de } 2.}$

4. $F_{0}=3$ , $F_{1}=5$ , $F_{2}=17$ , $F_{3}=257$ , $F_{4}=65537$ sont premiers ; mais Euler a montré en 1732 que $F_{5}=4294967297=641 \times 6700417$ ne l'est pas. Aucun $F_{m}$ avec $m \geqslant 5$ n'est connu premier. $\boxed{\begin{array}{l} \text{On ne sait pas s'il existe une infinité de premiers de Fermat,} \\[1mm] \text{donc la liste des polygones constructibles à nombre impair de côtés} \\[1mm] \text{n'est pas connue en totalité.} \end{array}}$

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Cyclotomie et constructions à la règle et au compas

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