Exercice 52

1. Modulo $7$, le polynôme devient $X^{5}+2X+5$, qui n'a pas de racine dans $\mathbb{F}_{7}$ et ne se factorise pas en degrés $2+3$ — un calcul direct montre qu'il est irréductible sur $\mathbb{F}_{7}$. Le lemme de Gauss conclut. $$\boxed{P \text{ est irréductible sur } \mathbb{Q}.}$$ Piège : le premier $2$ ne convient pas, car $P \equiv X(X+1)^{4} \; [2]$ : le discriminant est divisible par $2$, et la réduction perd la séparabilité.

2. On a $P'(x)=5x^{4}-5=5\big(x^{4}-1\big)$, qui s'annule en $\pm 1$. Or : $$P(-1)=-1+5+12=16>0 \qquad\text{et}\qquad P(1)=1-5+12=8>0$$ La fonction croît jusqu'à $16$, redescend jusqu'à $8$ en restant positive, puis croît. Comme $P(x) \to -\infty$ en $-\infty$, elle ne s'annule qu'une fois. $$\boxed{P \text{ possède exactement une racine réelle, et quatre racines complexes non réelles.}}$$

3. Le discriminant vaut $64\,000\,000$, et $8000^{2}=64\,000\,000$. $$\boxed{\Delta \text{ est un carré, donc } G \subseteq \mathfrak{A}_{5}.}$$

4. Un sous-groupe transitif de $\mathfrak{S}_{5}$ a un ordre divisible par $5$. Ceux contenus dans $\mathfrak{A}_{5}$ sont : $$\boxed{\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \; (\text{ordre } 5), \qquad D_{5} \; (\text{ordre } 10), \qquad \mathfrak{A}_{5} \; (\text{ordre } 60)}$$ Le groupe $F_{20}$ d'ordre $20$ n'est pas contenu dans $\mathfrak{A}_{5}$, car il contient des $4$-cycles.

5. La conjugaison complexe fixe l'unique racine réelle et échange les racines complexes deux à deux conjuguées : c'est un produit de deux transpositions. $$\boxed{G \text{ contient un élément d'ordre } 2, \text{ donc } G \neq \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}.}$$

6. Les motifs $(5)$, $(1\,;2\,;2)$ et $(1^{5})$ correspondent respectivement à des éléments d'ordre $5$, $2$ et $1$. L'absence du motif $(1\,;1\,;3)$ signale qu'aucun élément de $G$ n'est d'ordre $3$. $$\boxed{G \text{ ne contient aucun élément d'ordre } 3, \text{ donc } G \neq \mathfrak{A}_{5}.}$$ En effet $\mathfrak{A}_{5}$ possède vingt $3$-cycles, d'après l'exercice 11. Or $D_{5}$ n'a que des éléments d'ordre $1$, $2$ et $5$ — ce qui correspond exactement aux trois motifs observés.

7. Il ne reste qu'une possibilité, et $D_{5}$ est résoluble : la suite $\{\mathrm{id}\} \trianglelefteq \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \trianglelefteq D_{5}$ a pour quotients $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. $$\boxed{G \simeq D_{5}, \text{ et } P=X^{5}-5X+12 \text{ \emph{est} résoluble par radicaux.}}$$

Morale. Le théorème d'Abel-Ruffini n'affirme pas que toute équation de degré $5$ est irrésoluble, mais qu'il n'existe pas de formule générale. Comparée à $X^{5}+20X^{2}-2$ de l'exercice 51, qui a pour groupe $\mathfrak{S}_{5}$, cette quintique montre que le degré ne décide de rien : c'est la structure du groupe de Galois, et elle seule, qui tranche.