Exercice 51

Sur $\mathbb{Q}$. Le polynôme $f=X^{5}+20X^{2}-2$ est irréductible par Eisenstein en $2$. Sa dérivée $5x^{4}+40x=5x\big(x^{3}+8\big)$ s'annule en $-2$ et $0$, avec $f(-2)=46>0$ et $f(0)=-2<0$ ; comme $f$ tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et vers $+\infty$ en $+\infty$, le théorème des valeurs intermédiaires fournit exactement trois racines réelles. La proposition 7.5 donne : $$\boxed{\mathrm{Gal}_{\mathbb{Q}}(f) \simeq \mathfrak{S}_{5}}$$ Sur $K$. Soit $L \subset \mathbb{C}$ le corps de décomposition de $f$ sur $\mathbb{Q}$, de degré $120$, et $LK$ le corps engendré par $K$ et les racines de $f$, qui est le corps de décomposition de $f$ sur $K$. En calculant $[LK:\mathbb{Q}]$ de deux façons : $$[LK:K]\times q=[LK:\mathbb{Q}]=[LK:L]\times 120$$ Comme $q \geqslant 7$ est premier, il est premier avec $120$, qui divise donc $[LK:K]$. Or $\mathrm{Gal}(LK/K)$ agit fidèlement sur les cinq racines, donc s'identifie à un sous-groupe de $\mathfrak{S}_{5}$, et $[LK:K] \leqslant 120$. Ainsi $[LK:K]=120$. $$\boxed{\mathrm{Gal}_{K}(f) \simeq \mathfrak{S}_{5}}$$ Pour $q \in \{2\,;3\,;5\}$, l'argument ne s'applique plus, et la conclusion peut tomber : sur l'extension de degré $2$ engendrée par une racine carrée du discriminant de $f$, le groupe devient $\mathfrak{A}_{5}$.