Exercice 50

1. Les racines rationnelles possibles divisent $12$ : on vérifie que $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 4$, $\pm 6$, $\pm 12$ ne conviennent pas. Reste à écarter une factorisation en deux facteurs de degré $2$ ; en écrivant $$X^{4}+8X+12=\big(X^{2}+aX+b\big)\big(X^{2}-aX+c\big)$$ l'identification donne $b+c-a^{2}=0$, $a(c-b)=8$ et $bc=12$. De $c-b=\dfrac{8}{a}$ et $b+c=a^{2}$ on tire $4bc=a^{4}-\dfrac{64}{a^{2}}$, soit $a^{6}-48a^{2}-64=0$ : le réel $a^{2}$ serait racine de la résolvante de la question 4, qui est irréductible sur $\mathbb{Q}$. $$\boxed{P \text{ est irréductible sur } \mathbb{Q}.}$$

2. Le groupe $G$ permute les quatre racines et agit transitivement, puisque $P$ est irréductible. $$\boxed{\text{Sous-groupes transitifs de } \mathfrak{S}_{4} : \; \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, \; V, \; D_{4}, \; \mathfrak{A}_{4}, \; \mathfrak{S}_{4}}$$ Ce sont les seuls : un sous-groupe transitif a un ordre divisible par $4$, donc d'ordre $4$, $8$ ou $24$ ; les trois sous-groupes d'ordre $4$ qui sont transitifs sont les trois $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ et $V$, les sous-groupes d'ordre $8$ sont les trois conjugués de $D_{4}$, et l'on ajoute $\mathfrak{A}_{4}$ et $\mathfrak{S}_{4}$.

3. Le discriminant vaut $331\,776$, et $576^{2}=331\,776$. $$\boxed{\Delta \text{ est un carré, donc } G \subseteq \mathfrak{A}_{4}.}$$ Il ne reste que deux possibilités, $V$ et $\mathfrak{A}_{4}$, puisque $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ et $D_{4}$ contiennent des $4$-cycles, qui sont impairs.

4. Avec $p=8$ et $q=12$ : $$R=X^{3}-4 \times 12\,X-8^{2}=X^{3}-48X-64$$ Ses racines rationnelles diviseraient $64$ ; on vérifie que $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 4$, $\pm 8$, $\pm 16$, $\pm 32$, $\pm 64$ ne conviennent pas — par exemple $R(8)=512-384-64=64 \neq 0$. Étant de degré $3$ sans racine rationnelle : $$\boxed{R=X^{3}-48X-64 \text{ est irréductible sur } \mathbb{Q}.}$$

5. La résolvante n'étant pas scindée, $G \not\subseteq V$. $$\boxed{G \simeq \mathfrak{A}_{4} \qquad\text{et}\qquad [L:\mathbb{Q}]=|G|=12}$$

6. Les exemples usuels de degré $4$ épuisent les autres cas : $X^{4}-5X^{2}+6$ donne $V$, $X^{4}+1$ donne $V$ également, $X^{4}-2$ donne $D_{4}$, et un polynôme « générique » donne $\mathfrak{S}_{4}$. $$\boxed{\begin{array}{l} \mathfrak{A}_{4} \text{ est le sous-groupe transitif de } \mathfrak{S}_{4} \text{ que l'on ne rencontre} \\[1mm] \text{jamais dans les exemples classiques : il exige un discriminant carré} \\[1mm] \text{\emph{et} une résolvante cubique irréductible.} \end{array}}$$ C'est aussi le seul des cinq pour lequel $[L:\mathbb{Q}]=12$ n'est ni $4$, ni $8$, ni $24$.