Exercice 8

1. On part de $\mathrm{i}\mathrm{j}=\mathrm{k}$ et l'on multiplie à gauche par $\mathrm{j}$, puis on utilise $\mathrm{j}^{2}=-1$ : $$\mathrm{j}(\mathrm{i}\mathrm{j})=\mathrm{j}\mathrm{k}=\mathrm{i} \qquad\text{donc}\qquad (\mathrm{j}\mathrm{i})\mathrm{j}=\mathrm{i}$$ En multipliant à droite par $\mathrm{j}$ : $(\mathrm{j}\mathrm{i})\mathrm{j}^{2}=\mathrm{i}\mathrm{j}$, soit $-\mathrm{j}\mathrm{i}=\mathrm{k}$. $$\boxed{\mathrm{j}\mathrm{i}=-\mathrm{k} \neq \mathrm{k}=\mathrm{i}\mathrm{j} \text{ : le groupe } Q_{8} \text{ n'est pas abélien.}}$$

2. On a $\mathrm{i}^{2}=-1$ et $\mathrm{i}^{4}=1$, donc $\mathrm{i}$ est d'ordre $4$, et de même pour les six éléments $\pm\mathrm{i}$, $\pm\mathrm{j}$, $\pm\mathrm{k}$.

3. Le groupe $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ possède un élément d'ordre $8$, ce qui n'est pas le cas ici. Et $D_{4}$ possède cinq éléments d'ordre $2$ d'après l'exercice 5, contre un seul pour $Q_{8}$. $$\boxed{\text{Les trois groupes } \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, \; D_{4} \text{ et } Q_{8} \text{ sont deux à deux non isomorphes.}}$$ Le nombre d'éléments de chaque ordre est un invariant d'isomorphisme : c'est l'outil le plus économique pour séparer deux groupes de même ordre.

4. Un sous-groupe propre non trivial a pour ordre $2$ ou $4$. Celui d'ordre $2$ est engendré par l'unique élément d'ordre $2$ ; ceux d'ordre $4$ sont cycliques, engendrés par un élément d'ordre $4$, et $\langle x \rangle=\langle -x \rangle$. $$\boxed{\{1\} \;,\; \{\pm 1\} \;,\; \langle \mathrm{i} \rangle \;,\; \langle \mathrm{j} \rangle \;,\; \langle \mathrm{k} \rangle \;,\; Q_{8} \quad \text{soit six sous-groupes.}}$$

5. Les sous-groupes $\{1\}$ et $Q_{8}$ sont distingués. Les trois sous-groupes d'ordre $4$ sont d'indice $2$, donc distingués. Enfin $\{\pm 1\}$ est le centre, donc distingué. $$\boxed{\text{Tous les sous-groupes de } Q_{8} \text{ sont distingués, bien que } Q_{8} \text{ ne soit pas abélien.}}$$ À retenir : « tout sous-groupe distingué » n'entraîne donc pas « abélien ». C'est la différence entre $Q_{8}$ et $D_{4}$, qui possède quatre sous-groupes non distingués.

6. Un élément central commute avec $\mathrm{i}$ et $\mathrm{j}$ ; les six éléments d'ordre $4$ sont exclus, puisque $\mathrm{i}\mathrm{j} \neq \mathrm{j}\mathrm{i}$ et que les relations sont symétriques. $$\boxed{Z(Q_{8})=\{\pm 1\} \qquad\text{et}\qquad Q_{8}/Z(Q_{8}) \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2}}$$ Le quotient est d'ordre $4$ et tous ses éléments non triviaux sont d'ordre $2$, puisque $\mathrm{i}^{2}$, $\mathrm{j}^{2}$ et $\mathrm{k}^{2}$ valent $-1 \in Z$. On retrouve au passage que $Q_{8}/Z$ n'est pas cyclique, conformément à l'exercice 10.