Exercice 7

1. $|\mathfrak{A}_{4}|=\dfrac{4!}{2}=12$, et $6 \mid 12$.

2. Les douze éléments se répartissent selon leur ordre : $$\boxed{\mathfrak{A}_{4}=\{\mathrm{id}\} \cup \underbrace{\{\text{trois doubles transpositions}\}}_{\text{ordre } 2} \cup \underbrace{\{\text{huit } 3\text{-cycles}\}}_{\text{ordre } 3}}$$

3. Un tel $H$ serait d'indice $\dfrac{12}{6}=2$, donc distingué, et $\mathfrak{A}_{4}/H$ serait d'ordre $2$.

4. Dans un groupe d'ordre $2$, tout carré est trivial : $\overline{x}^{2}=\overline{e}$, donc $x^{2} \in H$ pour tout $x \in \mathfrak{A}_{4}$. Or si $c$ est un $3$-cycle, $c^{2}=c^{-1}$ est encore un $3$-cycle, et les huit $3$-cycles sont ainsi tous des carrés. Donc $H$ contiendrait $8+1=9>6$ éléments. $$\boxed{\mathfrak{A}_{4} \text{ n'a pas de sous-groupe d'ordre } 6 : \text{ la réciproque de Lagrange est fausse.}}$$

5. Les trois doubles transpositions, avec $\mathrm{id}$, forment déjà un sous-groupe : $$\boxed{V \text{ est d'ordre } 4, \text{ et c'est le plus petit convenant.}}$$