Exercice 6

1. Un endomorphisme $f$ de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est déterminé par $f(\overline{1})=\overline{a}$, et $f$ est bijectif si et seulement si $\overline{a}$ engendre, c'est-à-dire $\mathrm{pgcd}(a\,;n)=1$. L'application $f \mapsto \overline{a}$ est un morphisme multiplicatif : $$\boxed{\mathrm{Aut}\big(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\big) \simeq \big(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\big)^{*}, \text{ d'ordre } \varphi(n).}$$

2. $\big(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\big)^{*}=\{\overline{1};\overline{3};\overline{5};\overline{7}\}$, et $3^{2}=5^{2}=7^{2}=1$ modulo $8$ : tous les éléments non triviaux sont d'ordre $2$. $$\boxed{\mathrm{Aut}\big(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\big) \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2} \qquad \mathrm{Aut}\big(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\big) \simeq \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, \text{ engendré par } \overline{3}.}$$

3. Un sous-groupe d'ordre $4$ est cyclique — engendré par un $4$-cycle, et il y en a trois — ou de type Klein. Les Klein sont : le groupe $V=\{\mathrm{id}\,;(1\,2)(3\,4)\,;(1\,3)(2\,4)\,;(1\,4)(2\,3)\}$, et les trois groupes $\{\mathrm{id}\,;(a\ b)\,;(c\ d)\,;(a\ b)(c\ d)\}$. $$\boxed{\text{Sept sous-groupes d'ordre } 4 : \text{ trois cycliques et quatre de type Klein.}}$$