ExerciceMaster — Théorie de Galois · Chapitre 1 - Groupes

Exercice 5

DémonstrationCalcul

On note $D_{4}$ le groupe des isométries du carré, engendré par la rotation $r$ d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et une symétrie axiale $s$ .

1. Démontrer que $r^{4}=s^{2}=\mathrm{id}$ et $srs=r^{-1}$ , puis que $D_{4}$ est d'ordre $8$ .

2. Dresser la liste des huit éléments et déterminer l'ordre de chacun.

3. Déterminer tous les sous-groupes de $D_{4}$ . On en trouvera dix, et l'on tracera le treillis.

Corrigé

1. La rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ est d'ordre $4$ , une symétrie axiale est involutive, et $srs^{-1}$ est la rotation d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ , soit $r^{-1}$ . Tout élément s'écrit alors $r^{i}s^{j}$ avec $0 \leqslant i \leqslant 3$ et $j \in \{0\,;1\}$ : $\boxed{|D_{4}|=8}$

2. On classe les huit éléments par ordre :

\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{élément} & \mathrm{id} & r & r^{2} & r^{3} & s & rs & r^{2}s & r^{3}s \\ \hline \text{ordre} & 1 & 4 & 2 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline \end{array}

3. On trouve dix sous-groupes : $\boxed{\begin{array}{l} \text{ordre } 1 : \{\mathrm{id}\} \\ \text{ordre } 2 : \langle r^{2} \rangle, \; \langle s \rangle, \; \langle rs \rangle, \; \langle r^{2}s \rangle, \; \langle r^{3}s \rangle \quad (\text{cinq}) \\ \text{ordre } 4 : \langle r \rangle, \; \{\mathrm{id},r^{2},s,r^{2}s\}, \; \{\mathrm{id},r^{2},rs,r^{3}s\} \quad (\text{trois}) \\ \text{ordre } 8 : D_{4} \end{array}}$

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