Exercice 10

1. Le sous-groupe $\langle \overline{4} \rangle=\{\overline{0};\overline{4};\overline{8}\}$ est d'ordre $3$, donc le quotient est d'ordre $4$ ; il est cyclique, engendré par la classe de $\overline{1}$ : $$\boxed{\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \big/ \langle \overline{4} \rangle \simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}}$$

2. Chaque quotient est d'ordre $2$ ou $4$ : $$\boxed{\mathfrak{S}_{3}/\mathfrak{A}_{3} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \qquad D_{4}/\langle r^{2} \rangle \simeq (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{2}}$$ Pour le second, le quotient est d'ordre $4$ et tous ses éléments non triviaux sont d'ordre $2$, puisque $r^{2}$, $s^{2}$ et $(rs)^{2}$ appartiennent à $\langle r^{2} \rangle$.

3. Si $G$ est abélien, $\overline{x}\,\overline{y}=\overline{xy}=\overline{yx}=\overline{y}\,\overline{x}$. La réciproque est fausse : $\mathfrak{S}_{3}/\mathfrak{A}_{3}$ est abélien sans que $\mathfrak{S}_{3}$ le soit.

4. Soit $G/Z(G)=\langle \overline{a} \rangle$. Tout $x \in G$ s'écrit $x=a^{i}z$ avec $z \in Z(G)$, et deux tels éléments commutent : $$\big(a^{i}z\big)\big(a^{j}z'\big)=a^{i+j}zz'=\big(a^{j}z'\big)\big(a^{i}z\big)$$ Si $|G|=p^{2}$, le centre est non trivial, d'après l'équation aux classes du paragraphe 2.4 du cours, donc $G/Z(G)$ est d'ordre $1$ ou $p$, donc cyclique. $$\boxed{\text{Tout groupe d'ordre } p^{2} \text{ est abélien.}}$$