ExerciceMaster — Théorie de Galois · Chapitre 2 - Quotients, actions et résolubilité

Exercice 11

Calcul

1. Dresser la liste des classes de conjugaison de $\mathfrak{S}_{4}$ , avec leurs cardinaux. Vérifier que la somme vaut $24$ .

2. Faire de même pour $\mathfrak{S}_{5}$ . On trouvera sept classes.

3. En déduire, sans calcul supplémentaire, les sous-groupes distingués possibles de $\mathfrak{S}_{4}$ : un sous-groupe distingué est une réunion de classes de conjugaison contenant $\mathrm{id}$ , dont le cardinal divise $24$ .

Corrigé

1. Les cinq partitions de $4$ donnent cinq classes :

\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline \text{structure} & 1^{4} & 2\,1^{2} & 2^{2} & 3\,1 & 4 \\ \hline \text{cardinal} & 1 & 6 & 3 & 8 & 6 \\ \hline \end{array}

\boxed{1+6+3+8+6=24 \quad \checkmark}

2. Les sept partitions de $5$ donnent sept classes, de cardinaux : $\boxed{1 \;(\,1^{5}) \;,\; 10 \;(2\,1^{3}) \;,\; 15 \;(2^{2}1) \;,\; 20 \;(3\,1^{2}) \;,\; 20 \;(3\,2) \;,\; 30 \;(4\,1) \;,\; 24 \;(5)}$ dont la somme vaut $120$ .

3. Les réunions de classes contenant $\mathrm{id}$ dont le cardinal divise $24$ sont $1$ , $1+3=4$ , $1+3+8=12$ et $24$ : $\boxed{\{\mathrm{id}\} \;\trianglelefteq\; V \;\trianglelefteq\; \mathfrak{A}_{4} \;\trianglelefteq\; \mathfrak{S}_{4}}$

Énoncé PDF, p. 4 Corrigé PDF, p. 7 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Classes modulo un sous-groupe, sous-groupes distingués Groupe quotient

Thèmes

groupes, sous-groupes, morphismes de groupes, sous-groupes distingués et quotients, actions de groupes

Notions

sous-groupe distingué, groupe quotient, action de groupe