Exercice 18

1. On pose la division : $$\boxed{X^{4}+X^{3}+2X+1=\big(X^{2}+1\big)\big(X^{2}+X-1\big)+(X+2)}$$

2. L'algorithme d'Euclide donne $X^{6}-1=X^{2}\big(X^{4}-1\big)+\big(X^{2}-1\big)$, puis $X^{4}-1=\big(X^{2}+1\big)\big(X^{2}-1\big)$ : le dernier reste non nul est $X^{2}-1$, et la première égalité fournit directement la relation de Bézout. $$\boxed{\mathrm{pgcd}=X^{2}-1 \qquad\text{avec}\qquad -X^{2}\big(X^{4}-1\big)+1 \cdot \big(X^{6}-1\big)=X^{2}-1}$$

3. Le polynôme $X^{2}-1$ admet dans $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ les quatre racines $\overline{1}$, $\overline{3}$, $\overline{5}$, $\overline{7}$. $$\boxed{\text{Aucune contradiction : } \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \text{ n'est pas intègre, car } \overline{2}\,\overline{4}=\overline{0}.}$$