Exercice 3

1. On suit les orbites : $1 \to 3 \to 7 \to 1$, puis $2 \to 5 \to 2$, puis $4 \to 9 \to 8 \to 4$, et $6$ est fixe. $$\boxed{\sigma=(1\ 3\ 7)(2\ 5)(4\ 9\ 8)}$$

2. L'ordre est le PPCM des longueurs, et la signature vaut $(-1)^{\sum (\ell_{i}-1)}$ : $$\boxed{\text{ordre}(\sigma)=\mathrm{ppcm}(3\,;2\,;3)=6 \qquad \varepsilon(\sigma)=(+1)(-1)(+1)=-1}$$

3. Par exemple $(1\ 2\ 3\ 4)=(1\ 4)(1\ 3)(1\ 2)=(1\ 2)(2\ 3)(3\ 4)$. $$\boxed{\text{Le nombre de facteurs n'est pas déterminé, mais sa \emph{parité} l'est (théorème 1.3).}}$$

4. On dresse la liste exhaustive des $24$ permutations, regroupées par ordre.

Contrôle du dénombrement. Les transpositions sont les $\binom{4}{2}=6$ paires. Une double transposition est déterminée par le partenaire de $1$, soit $3$ possibilités. Les $3$-cycles sont au nombre de $\binom{4}{3} \times 2=8$, trois éléments donnés se cyclant de deux façons. Enfin tout $4$-cycle s'écrit $(1\ a\ b\ c)$ en démarrant par $1$, soit $3!=6$ possibilités. $$\boxed{1+6+3+8+6=24 \quad \checkmark}$$

Remarque. Les cinq lignes du tableau sont exactement les cinq classes de conjugaison de $\mathfrak{S}_{4}$, que l'exercice 11 retrouvera par la structure de cycles. L'ordre seul ne les sépare pas : les transpositions et les doubles transpositions sont toutes d'ordre $2$ sans être conjuguées.