Exercice 59

Idée. Si $F$ est de dimension $d$, on écrit chaque $\varphi_{a}$ sur une base formée de $d$ fonctions $\varphi_{a_{i}}$ ; les coefficients dépendent de $a$, et la même égalité, lue « dans l'autre variable », exprime chaque $\psi_{b}$ à l'aide de ces $d$ coefficients.

Supposons $\dim F = d$. Parmi les familles libres formées de fonctions $\varphi_{a}$, il en existe une de cardinal maximal, au plus $d$, soit $(\varphi_{a_{1}}, \dots, \varphi_{a_{m}})$. Par maximalité, tout $\varphi_{a}$ est combinaison de ces fonctions (proposition 8 du chapitre 14) ; elles engendrent donc $F$, et $m = d$. Pour tout $a$, il existe des réels $c_{1}(a), \dots, c_{d}(a)$ tels que $$\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(a, x) = \sum_{i = 1}^{d} c_{i}(a)\,f(a_{i}, x).$$ On obtient ainsi des fonctions $c_{1}, \dots, c_{d}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Pour $b \in \mathbb{R}$ fixé et tout $a$, l'égalité en $x = b$ s'écrit $$\psi_{b}(a) = f(a, b) = \sum_{i = 1}^{d} \varphi_{a_{i}}(b)\,c_{i}(a), \qquad\text{soit}\qquad \psi_{b} = \sum_{i = 1}^{d} \varphi_{a_{i}}(b)\,c_{i}.$$ Toutes les fonctions $\psi_{b}$ appartiennent à $\mathrm{Vect}(c_{1}, \dots, c_{d})$, donc $G$ est de dimension finie au plus $d$. Le rôle des deux variables étant symétrique, $\dim F \leqslant \dim G$ dès que $G$ est de dimension finie. $$\boxed{\dim F = \dim G}$$ Pour une fonction $f$ définie sur un produit d'ensembles finis, c'est l'égalité du rang des lignes et du rang des colonnes d'un tableau, que le chapitre 16 retrouvera pour les matrices.