Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 15

Dimension finie et rang

60 exercices corrigés · 11   24   20   5

Espaces de dimension finie

• Exercice 1 1. Pour quelles valeurs du réel t la famille ((1, t), (t, 3)) est-elle une base de ℝ^2 ? Même question pour la famille ((1, 0, t), (1, 1, t), (t, 0,…
• Exercice 2 Dans ℝ^4, compléter chacune des familles suivantes en une base, à l'aide de vecteurs de la base canonique (e_1, e_2, e_3, e_4). 1. u = (1, 0, 2, 3),…
• Exercice 3 Donner une base et la dimension des sous-espaces suivants de ℝ^4: E = Vect ((1, 2, 1, 0), (4, -2, 1, 1), (7, 2, 4, 2), (11, 4, 1, 3)), F = (x, y, z,…
• Exercice 4 Soit P = X^4 + 2X^3 - 2X^2 - 6X + 5. 1. Déterminer la multiplicité de la racine 1 de P, puis factoriser P dans ℝ[X]. 2. Montrer que ((X - 1)^4, (X -…
• Exercice 5 1. Soit (e_1, …, e_n) une famille génératrice de K^n. Montrer que (e_2, …, e_n) est libre. 2. Pour k ∈ [ [1;n] ], on pose u_k = (k, k - 1, …, 2, 1,…
• Exercice 6 Polynômes de Bernstein. Soit n ∈ ℕ. Pour k ∈ [ [0;n] ], on pose B_k = X^k(1 - X)^(n - k). Montrer que (B_0, …, B_n) est une base de ℝ_n[X].
• Exercice 7 1. Soit n ≥ 1 et α ∈ ℝ. Montrer que F = P ∈ ℝ_n[X] mid P(α) = 0 est un sous-espace de ℝ_n[X], dont ((X - α)X^k)_(0 ≤ k ≤ n - 1) est une base. Donner…
• Exercice 8 1. Montrer que l'ensemble des suites arithmétiques complexes est un sous-espace de dimension 2 de ℂ^ℕ, et en donner une base. 2. Soit P = X^2 + α X…
• Exercice 9 Soit T ∈ ℕ^() et P_T = (u_n) ∈ ℂ^ℕ mid u_(n + T) = u_n pour tout n l'espace des suites T -périodiques. 1. Montrer que P_T est un sous-espace de…
• Exercice 10 Soit E l'ensemble des fonctions continues sur [-1, 1], affines sur [-1, 0] et sur [0, 1]. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de C([-1, 1],…
• Exercice 11 1. Construire un isomorphisme de K[X] sur K × K[X], et en déduire une nouvelle preuve du fait que K[X] n'est pas de dimension finie. 2. Montrer que…
• Exercice 12 Soit k ≥ 1 et Q = X^k + α_(k - 1)X^(k - 1) + … + α_1X + α_0 ∈ ℂ[X] un polynôme ayant k racines distinctes rho _1, …, rho _k. Montrer que l'ensemble…
• Exercice 13 1. Soit x_1, …, x_n, y_1, …, y_n ∈ E tels que la famille (x_1 + y_1, …, x_n + y_n) soit libre. Montrer que rg(x_1, …, x_n, y_1, …, y_n) ≥ n. 2. Soit…
• Exercice 14 Soit (f_1, …, f_n) une famille libre de fonctions dérivables de ℝ dans ℝ. Montrer que le rang de la famille (f_1', …, f_n') est au moins n - 1.

Sous-espaces et dimension

• Exercice 15 1. Dans ℝ^3, donner une base de F = (x, y, z) mid x - 2y + z = 0 et de G = (a, a + b, b) mid a, b ∈ ℝ. 2. Dans ℝ^4, donner une base de F = (x, y, z,…
• Exercice 16 Dans ℝ^3, on considère les couples de sous-espaces suivants. Dans chaque cas, donner une base de F, de G et de F ∩ G, déterminer F + G, et dire si F…
• Exercice 17 1. Dans ℝ^4, on pose F = (a, b, c, d) mid b - 2c + d = 0 et G = (a, b, c, d) mid a = d et b = 2c. Donner une base de F, de G et de F ∩ G, puis…
• Exercice 18 1. Soit F = P ∈ ℝ_3[X] mid P(0) = P'(0) = 0. Donner une base de F et un supplémentaire de F dans ℝ_3[X]. 2. Soit t ∈ ℝ, D_t = Vect ((t, t, 1)) et…
• Exercice 19 Soit n ∈ ℕ^(), P = P ∈ K_2n[X] mid P(-X) = P(X) et I = P ∈ K_2n[X] mid P(-X) = -P(X). 1. Montrer que P et I sont des sous-espaces de K_2n[X], en…
• Exercice 20 1. Soit E un sous-espace de K^n. Montrer qu'il existe une sous-famille (e_i_1, …, e_i_r) de la base canonique telle que E et Vect(e_i_1, …, e_i_r)…
• Exercice 21 Soit E un espace de dimension finie. 1. Montrer que si F et G sont deux sous-espaces de E tels que dim F + dim G > dim E, alors F ∩ G ≠ 0. 2. Soit…
• Exercice 22 Soit E un espace de dimension finie. 1. Montrer, à l'aide de la dimension, que deux supplémentaires d'un même sous-espace sont isomorphes. 2. Soit F…
• Exercice 23 Soit E un espace de dimension n et p, q ∈ [ [0;n] ]. Quelles sont les dimensions possibles de F ∩ G, lorsque F et G sont des sous-espaces de E de…
• Exercice 24 Lemme d'échange de Steinitz. Soit (f_1, …, f_m) une famille génératrice de E et (e_1, …, e_n) une famille libre de E. Pour r ∈ [ [1;n] ], on note…
• Exercice 25 Soit E un espace de dimension finie, et F, G deux sous-espaces de E. Montrer que F et G admettent un supplémentaire commun si et seulement si dim F…

Applications linéaires en dimension finie

• Exercice 26 Soit f: (x, y, z, t) ↦ (x - z, y - t), de K^4 dans K^2. 1. Montrer que f est linéaire, et donner une base et la dimension de Ker f. 2. En déduire…
• Exercice 27 1. Soit n ∈ ℕ. Montrer qu'il existe un unique polynôme P_n ∈ K[X] tel que P_n - P_n' = X^n. 2. Soit Q ∈ ℝ_n[X]. Montrer qu'il existe un unique P ∈…
• Exercice 28 Soit E un espace de dimension finie et f ∈ L(E) tel que f^3 = id_E. 1. Montrer que Im(f - id_E) ⊂ Ker (f^2 + f + id_E). 2. Montrer que Im(f - id_E)…
• Exercice 29 Soit u ∈ L(E). 1. Rappeler pourquoi E = Ker u oplus Im u si et seulement si Im u^2 = Im u et Ker u^2 = Ker u (exercice 49 du chapitre 14). 2. On…
• Exercice 30 Soit E un espace de dimension finie et u, v ∈ L(E) tels que Ker u + Ker v = Im u + Im v = E. 1. Montrer que les deux sommes sont directes. 2.…
• Exercice 31 Soit E et F deux espaces de dimension finie et u ∈ L(E, F). 1. Soit V un sous-espace de E. Montrer que dim u(V) = dim V - dim (V ∩ Ker u). 2. Soit W…
• Exercice 32 Soit E un espace de dimension finie. 1. Soit F un sous-espace de E. Montrer qu'il existe un espace E' et φ ∈ L(E', E) tels que F = Imφ. 2. Soit G un…
• Exercice 33 Soit E un espace de dimension finie et u ∈ L(E) non nul. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes: 1. u^2 = 0; 2. il existe un…
• Exercice 34 Soit E, F, G des espaces de dimension finie. 1. Soit a, b ∈ L(E). Montrer que dim Ker (a ∘ b) ≤ dim Ker a + dim Ker b. 2. Soit f ∈ L(E, F) et g ∈…
• Exercice 35 Soit E et F deux espaces de dimension finie, et G un sous-espace de E. Montrer que l'ensemble A = f ∈ L(E, F) mid G ⊂ Ker f est un sous-espace de…
• Exercice 36 Soit E un espace de dimension n et r, s ∈ [ [0;n] ]. Déterminer l'ensemble des valeurs de rg(g ∘ f) lorsque (f, g) parcourt les couples…
• Exercice 37 Lemme de factorisation. Soit E, F, G trois espaces de dimension finie, u ∈ L(E, F) et v ∈ L(E, G). Montrer que Ker u ⊂ Ker v si et seulement s'il…
• Exercice 38 Soit E un ℝ -espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L(E). 1. Montrer que, si Ker f = Im f, la dimension de E est paire. 2. Montrer que Im f =…
• Exercice 39 Soit E un espace de dimension finie et u ∈ L(E) tel que u ∘ v = v ∘ u pour tout v ∈ L(E). Montrer que u est une homothétie. On pourra utiliser…
• Exercice 40 Soit f un endomorphisme d'un espace E de dimension finie. 1. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, Ker f^n ⊂ Ker f^(n + 1) et Im f^(n + 1) ⊂ Im f^n. 2. Que…
• Exercice 41 Soit E un espace de dimension finie et f ∈ L(E). 1. On suppose que, pour tout x ∈ E, il existe p ∈ ℕ tel que f^p(x) = 0. Montrer qu'il existe q ∈ ℕ…
• Exercice 42 Montrer que tout endomorphisme d'un espace E de dimension finie est la différence de deux automorphismes. On pourra introduire un supplémentaire S…
• Exercice 43 Soit E un espace de dimension finie et p, q deux projecteurs de E. Montrer que p et q ont le même rang si et seulement s'il existe u, v ∈ L(E) tels…

Hyperplans et systèmes d'équations

• Exercice 44 Soit E un espace de dimension n. 1. Soit H et H' deux hyperplans de E. Montrer que dim (H ∩ H') ∈ n - 1, n - 2, et donner une condition nécessaire…
• Exercice 45 Soit E un espace de dimension finie et f_1, …, f_n, f des formes linéaires sur E telles que ∀ x ∈ E, (f_1(x) = … = f_n(x) = 0) implies f(x) = 0.…
• Exercice 46 Soit n ∈ ℕ^(). Montrer qu'il existe un unique (c_1, …, c_n) ∈ ℝ^n tel que, pour tout P ∈ ℝ_(2n + 1)[X], ∫_(-1)^1 P(x) d x = 2P(0) + Σ_(k = 1)^n c_k…
• Exercice 47 Soit a, b, c trois nombres complexes distincts, E un ℂ -espace vectoriel et f ∈ L(E) tel que (f - a id) ∘ (f - b id) ∘ (f - c id) = 0. Pour λ ∈ ℂ,…

Exercices de synthèse

• Exercice 48 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. L'espace E est de dimension finie n ≥ 2. 1. Toute famille de n…
• Exercice 49 Soit n ≥ 1 et D la dérivation de ℂ_n[X]. 1. Déterminer le rang, le noyau et l'image de D, et ceux de D^2. 2. On suppose par l'absurde qu'il existe f…
• Exercice 50 1. Soit E un sous-espace de F([0, 1], ℝ) formé de fonctions monotones. Montrer que dim E ≤ 2. 2. Même question pour un sous-espace de F(ℝ, ℝ) formé…
• Exercice 51 Soit n ≥ 1 et X_1, …, X_(n + 1) des parties non vides de [ [1;n] ]. Montrer qu'il existe deux parties I et J de [ [1;n + 1] ], non vides et…
• Exercice 52 Soit E un ℝ -espace vectoriel de dimension finie. Deux r -uplets de sous-espaces (F_1, …, F_r) et (F_1', …, F_r') sont dits équivalents s'il existe…
• Exercice 53 Quatre sous-espaces: un invariant continu. On reprend la relation d'équivalence de l'exercice 52, et l'on suppose dim E = 2r, avec r ≥ 1. On fixe…
• Exercice 54 Nombres algébriques. Les définitions et résultats des chapitres 14 et 15 n'utilisent que les propriétés de corps de K; on admet qu'ils restent…
• Exercice 55 Paver un rectangle par des carrés. On admet, comme à l'exercice 54, que les résultats des chapitres 14 et 15 restent valables lorsque K est remplacé…
• Exercice 56 Inégalité de Frobenius. Soit u, v, w trois endomorphismes d'un espace de dimension finie. Montrer que rg(u ∘ v) + rg(v ∘ w) ≤ rg(v) + rg(u ∘ v ∘ w).
• Exercice 57 Avec les notations de l'exercice 52, on suppose dim E = 2r. Montrer que les triplets (F_1, F_2, F_3) de sous-espaces de dimension r tels que F_i ∩…
• Exercice 58 On admet qu'il n'existe pas de surjection de ℕ sur ℝ. Soit E un ℝ -espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1. Montrer qu'il n'existe pas de suite…
• Exercice 59 Soit f: ℝ^2 → ℝ une fonction. Pour a ∈ ℝ, on pose φ_a: x ↦ f(a, x) et psi _a: x ↦ f(x, a), puis F = Vect(φ_a)_(a ∈ ℝ) et G = Vect(psi _a)_(a ∈ ℝ),…
• Exercice 60 Soit (u_n) une suite réelle telle que u_(n + 3) = (u_n + u_(n + 1) + u_(n + 2))/3 pour tout n ∈ ℕ. Montrer que la suite (u_n) converge, et exprimer…