Exercice 30

1. Notons $n = \dim E$. Par la formule de Grassmann, les hypothèses donnent $$\dim\mathrm{Ker}\, u + \dim\mathrm{Ker}\, v \geqslant n \qquad\text{et}\qquad \dim\operatorname{Im} u + \dim\operatorname{Im} v \geqslant n.$$ Or le théorème du rang, appliqué à $u$ et à $v$, montre que la somme de ces quatre dimensions vaut exactement $2n$. Les deux inégalités sont donc des égalités, et la formule de Grassmann donne $\dim(\mathrm{Ker}\, u \cap \mathrm{Ker}\, v) = 0$ et $\dim(\operatorname{Im} u \cap \operatorname{Im} v) = 0$. $$\boxed{E = \mathrm{Ker}\, u \oplus \mathrm{Ker}\, v = \operatorname{Im} u \oplus \operatorname{Im} v}$$

2. Dans $E = \mathbb{K}[X]$, on prend $u = D$, la dérivation, et $v : P \mapsto P(0)$, à valeurs dans les constantes. On a $\mathrm{Ker}\, u = \mathbb{K}_{0}[X]$ et $\mathrm{Ker}\, v = X\mathbb{K}[X]$, de somme $E$ ; $\operatorname{Im} u = \mathbb{K}[X]$, donc $\operatorname{Im} u + \operatorname{Im} v = E$. Mais $\operatorname{Im} u \cap \operatorname{Im} v = \mathbb{K}_{0}[X] \neq \{0\}$ : la seconde somme n'est pas directe.