Exercice 29

1. Si $E = \mathrm{Ker}\, u \oplus \operatorname{Im} u$, la restriction de $u$ à $\operatorname{Im} u$ est injective, d'où $\mathrm{Ker}\, u^{2} = \mathrm{Ker}\, u$ ; et tout $x = k + u(y)$ a pour image $u(x) = u^{2}(y)$, d'où $\operatorname{Im} u^{2} = \operatorname{Im} u$. Réciproquement, si $x \in \mathrm{Ker}\, u \cap \operatorname{Im} u$, $x = u(y)$ avec $u^{2}(y) = 0$, donc $y \in \mathrm{Ker}\, u$ et $x = 0$ ; et pour $x \in E$, on écrit $u(x) = u^{2}(y)$, puis $x = (x - u(y)) + u(y)$ avec $x - u(y) \in \mathrm{Ker}\, u$.

2. On a toujours $\operatorname{Im} u^{2} \subset \operatorname{Im} u$ et $\mathrm{Ker}\, u \subset \mathrm{Ker}\, u^{2}$. Par le théorème du rang, $\mathrm{rg} u^{2} = \mathrm{rg} u$ équivaut à $\dim\mathrm{Ker}\, u^{2} = \dim\mathrm{Ker}\, u$ ; avec les inclusions et le théorème 5, $$\begin{aligned} \operatorname{Im} u^{2} = \operatorname{Im} u &\iff \mathrm{rg} u^{2} = \mathrm{rg} u \\ &\iff \dim\mathrm{Ker}\, u^{2} = \dim\mathrm{Ker}\, u \iff \mathrm{Ker}\, u^{2} = \mathrm{Ker}\, u. \end{aligned}$$ Chacune des deux égalités entraîne donc l'autre, et la question 1 donne leur équivalence avec la décomposition $E = \mathrm{Ker}\, u \oplus \operatorname{Im} u$.

3. Non. La dérivation $D$ de $\mathbb{K}[X]$ est surjective, donc $\operatorname{Im} D^{2} = \operatorname{Im} D = \mathbb{K}[X]$ ; mais son noyau est $\mathrm{Ker}\, D = \mathbb{K}_{0}[X]$, alors que $\mathrm{Ker}\, D^{2} = \mathbb{K}_{1}[X]$.

Piège. L'argument de la question 2 repose entièrement sur le théorème du rang ; en dimension infinie, il n'y a plus de lien entre la taille du noyau et celle de l'image.