Exercice 28

1. Les polynômes en $f$ commutent, et $(f^{2} + f + \mathrm{id}) \circ (f - \mathrm{id}) = f^{3} - \mathrm{id} = 0$ : tout vecteur de $\operatorname{Im}(f - \mathrm{id})$ est annulé par $f^{2} + f + \mathrm{id}$.

2. Soit $x \in \operatorname{Im}(f - \mathrm{id}) \cap \mathrm{Ker}\,(f - \mathrm{id})$. Alors $f(x) = x$, donc $f^{2}(x) = x$, et la question 1 donne $x + x + x = 0$, soit $x = 0$. Le théorème du rang appliqué à $f - \mathrm{id}$ donne $$\dim\operatorname{Im}(f - \mathrm{id}) + \dim\mathrm{Ker}\,(f - \mathrm{id}) = \dim E,$$ et la proposition 4 conclut. $$\boxed{E = \operatorname{Im}(f - \mathrm{id}_{E}) \oplus \mathrm{Ker}\,(f - \mathrm{id}_{E})}$$