Exercice 27

1. L'application $\varphi : P \mapsto P - P'$ est un endomorphisme de $\mathbb{K}_{n}[X]$. Si $\varphi(P) = 0$ avec $P \neq 0$, les degrés de $P$ et de $P'$ diffèrent, donc $\deg(P - P') = \deg P$, ce qui est absurde : $\varphi$ est injectif, donc bijectif (théorème 10). Il existe un unique $P_{n} \in \mathbb{K}_{n}[X]$ tel que $P_{n} - P_{n}' = X^{n}$. Un polynôme $P$ de degré $d > n$ ne convient pas, puisque $\deg(P - P') = d$ : l'unicité vaut dans $\mathbb{K}[X]$. On vérifie enfin que $$\boxed{P_{n} = \sum_{j = 0}^{n} \frac{n!}{(n - j)!}X^{n - j} = X^{n} + nX^{n - 1} + n(n - 1)X^{n - 2} + \cdots + n!}$$ car $P_{n}'$ est la même somme privée de son premier terme.

2. L'application $\psi : P \mapsto P(X + 1) + P(X)$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_{n}[X]$. Si $P \neq 0$ a pour coefficient dominant $a$ et pour degré $d$, alors $\psi(P)$ a pour terme de degré $d$ le monôme $2aX^{d} \neq 0$ : $\psi$ est injectif, donc bijectif, puisque $\mathbb{R}_{n}[X]$ est de dimension finie. $$\boxed{\forall Q \in \mathbb{R}_{n}[X], \ \exists!\, P \in \mathbb{R}_{n}[X], \ P(X + 1) + P(X) = Q}$$ À retenir. En dimension finie, pour résoudre une équation linéaire $\varphi(P) = Q$ de façon unique, il suffit de vérifier l'injectivité, c'est-à-dire l'unicité pour $Q = 0$.